Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finxp00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finxp00 32863
Description: Cartesian exponentiation of the empty set to any power is the empty set. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
finxp00 (∅↑↑𝑁) = ∅

Proof of Theorem finxp00
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 finxpeq2 32848 . . . 4 (𝑛 = ∅ → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑∅))
21eqeq1d 2628 . . 3 (𝑛 = ∅ → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑∅) = ∅))
3 finxpeq2 32848 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑚))
43eqeq1d 2628 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑚) = ∅))
5 finxpeq2 32848 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑suc 𝑚))
65eqeq1d 2628 . . 3 (𝑛 = suc 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
7 finxpeq2 32848 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑁))
87eqeq1d 2628 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑁) = ∅))
9 finxp0 32852 . . 3 (∅↑↑∅) = ∅
10 suceq 5752 . . . . . . . . 9 (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = suc ∅)
11 df-1o 7506 . . . . . . . . 9 1𝑜 = suc ∅
1210, 11syl6eqr 2678 . . . . . . . 8 (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = 1𝑜)
13 finxpeq2 32848 . . . . . . . 8 (suc 𝑚 = 1𝑜 → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1𝑜))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1𝑜))
15 finxp1o 32853 . . . . . . 7 (∅↑↑1𝑜) = ∅
1614, 15syl6eq 2676 . . . . . 6 (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
1716adantl 482 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 = ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
18 finxpsuc 32859 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ((∅↑↑𝑚) × ∅))
19 xp0 5515 . . . . . 6 ((∅↑↑𝑚) × ∅) = ∅
2018, 19syl6eq 2676 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
2117, 20pm2.61dane 2883 . . . 4 (𝑚 ∈ ω → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
2221a1d 25 . . 3 (𝑚 ∈ ω → ((∅↑↑𝑚) = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
232, 4, 6, 8, 9, 22finds 7040 . 2 (𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
24 finxpnom 32862 . 2 𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
2523, 24pm2.61i 176 1 (∅↑↑𝑁) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  c0 3896   × cxp 5077  suc csuc 5687  ωcom 7013  1𝑜c1o 7499  ↑↑cfinxp 32844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-reg 8442
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-finxp 32845
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator