Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finxp2o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finxp2o 32903
Description: The value of Cartesian exponentiation at two. (Contributed by ML, 19-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
finxp2o (𝑈↑↑2𝑜) = (𝑈 × 𝑈)

Proof of Theorem finxp2o
StepHypRef Expression
1 df-2o 7513 . . 3 2𝑜 = suc 1𝑜
2 finxpeq2 32891 . . 3 (2𝑜 = suc 1𝑜 → (𝑈↑↑2𝑜) = (𝑈↑↑suc 1𝑜))
31, 2ax-mp 5 . 2 (𝑈↑↑2𝑜) = (𝑈↑↑suc 1𝑜)
4 1onn 7671 . . 3 1𝑜 ∈ ω
5 1n0 7527 . . 3 1𝑜 ≠ ∅
6 finxpsuc 32902 . . 3 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 1𝑜) = ((𝑈↑↑1𝑜) × 𝑈))
74, 5, 6mp2an 707 . 2 (𝑈↑↑suc 1𝑜) = ((𝑈↑↑1𝑜) × 𝑈)
8 finxp1o 32896 . . 3 (𝑈↑↑1𝑜) = 𝑈
98xpeq1i 5100 . 2 ((𝑈↑↑1𝑜) × 𝑈) = (𝑈 × 𝑈)
103, 7, 93eqtri 2647 1 (𝑈↑↑2𝑜) = (𝑈 × 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  c0 3896   × cxp 5077  suc csuc 5689  ωcom 7019  1𝑜c1o 7505  2𝑜c2o 7506  ↑↑cfinxp 32887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-reg 8449
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-finxp 32888
This theorem is referenced by:  finxp3o  32904
  Copyright terms: Public domain W3C validator