Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiphp3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiphp3d 36849
Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fiphp3d.a (𝜑𝐴 ≈ ℕ)
fiphp3d.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fiphp3d.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
Assertion
Ref Expression
fiphp3d (𝜑 → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fiphp3d
StepHypRef Expression
1 ominf 8117 . . . . 5 ¬ ω ∈ Fin
2 fiphp3d.c . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
3 risset 3060 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑦 = 𝐷)
4 eqcom 2633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐷𝐷 = 𝑦)
54rexbii 3039 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐵 𝑦 = 𝐷 ↔ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
63, 5bitri 264 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
72, 6sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
87ralrimiva 2965 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
9 rabid2 3112 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦} ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦)
108, 9sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦})
11 iunrab 4538 . . . . . . . 8 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝐷 = 𝑦}
1210, 11syl6reqr 2679 . . . . . . 7 (𝜑 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} = 𝐴)
1312eleq1d 2688 . . . . . 6 (𝜑 → ( 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
14 fiphp3d.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≈ ℕ)
15 nnenom 12716 . . . . . . . 8 ℕ ≈ ω
16 entr 7953 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
1714, 15, 16sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≈ ω)
18 enfi 8121 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
2013, 19bitrd 268 . . . . 5 (𝜑 → ( 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
211, 20mtbiri 317 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
22 fiphp3d.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
23 iunfi 8199 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2422, 23sylan 488 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2521, 24mtand 690 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
26 rexnal 2994 . . 3 (∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2725, 26sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)
2817, 15jctir 560 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω))
29 ssrab2 3671 . . . . . 6 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴
3029jctl 563 . . . . 5 (¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ({𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin))
31 ctbnfien 36848 . . . . 5 (((𝐴 ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω) ∧ ({𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin)) → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
3228, 30, 31syl2an 494 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin) → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
3332ex 450 . . 3 (𝜑 → (¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
3433reximdv 3015 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝐵 ¬ {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ∈ Fin → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ))
3527, 34mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝐷 = 𝑦} ≈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  {crab 2916  wss 3560   ciun 4490   class class class wbr 4618  ωcom 7013  cen 7897  Fincfn 7900  cn 10965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632
This theorem is referenced by:  pellexlem5  36863
  Copyright terms: Public domain W3C validator