Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fipwuni 8276
 Description: The set of finite intersections of a set is contained in the powerset of the union of the elements of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwuni (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴

Proof of Theorem fipwuni
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 6908 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
2 pwexg 4810 . . . . 5 ( 𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4 pwuni 4859 . . . 4 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴
5 fiss 8274 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝒫 𝐴))
63, 4, 5sylancl 693 . . 3 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝒫 𝐴))
7 ssinss1 3819 . . . . . . 7 (𝑥 𝐴 → (𝑥𝑦) ⊆ 𝐴)
8 vex 3189 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
98elpw 4136 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 𝐴)
108inex1 4759 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦) ∈ V
1110elpw 4136 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥𝑦) ⊆ 𝐴)
127, 9, 113imtr4i 281 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
1413rgen2a 2971 . . . 4 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴
15 inficl 8275 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (fi‘𝒫 𝐴) = 𝒫 𝐴))
163, 15syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (fi‘𝒫 𝐴) = 𝒫 𝐴))
1714, 16mpbii 223 . . 3 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝒫 𝐴) = 𝒫 𝐴)
186, 17sseqtrd 3620 . 2 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
19 fvprc 6142 . . 3 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = ∅)
20 0ss 3944 . . 3 ∅ ⊆ 𝒫 𝐴
2119, 20syl6eqss 3634 . 2 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
2218, 21pm2.61i 176 1 (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  Vcvv 3186   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  𝒫 cpw 4130  ∪ cuni 4402  ‘cfv 5847  ficfi 8260 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-fin 7903  df-fi 8261 This theorem is referenced by:  fiuni  8278  ordtbas  20906
 Copyright terms: Public domain W3C validator