Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fisupclrnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fisupclrnmpt 39441
 Description: A nonempty finite indexed set contains its supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fisupclrnmpt.x 𝑥𝜑
fisupclrnmpt.r (𝜑𝑅 Or 𝐴)
fisupclrnmpt.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fisupclrnmpt.n (𝜑𝐵 ≠ ∅)
fisupclrnmpt.c ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
fisupclrnmpt (𝜑 → sup(ran (𝑥𝐵𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem fisupclrnmpt
StepHypRef Expression
1 fisupclrnmpt.x . . 3 𝑥𝜑
2 eqid 2621 . . 3 (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶)
3 fisupclrnmpt.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝐴)
41, 2, 3rnmptssd 39207 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝐵𝐶) ⊆ 𝐴)
5 fisupclrnmpt.r . . 3 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
6 fisupclrnmpt.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
72rnmptfi 39173 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → ran (𝑥𝐵𝐶) ∈ Fin)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥𝐵𝐶) ∈ Fin)
9 fisupclrnmpt.n . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
101, 3, 2, 9rnmptn0 39235 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥𝐵𝐶) ≠ ∅)
11 fisupcl 8372 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (ran (𝑥𝐵𝐶) ∈ Fin ∧ ran (𝑥𝐵𝐶) ≠ ∅ ∧ ran (𝑥𝐵𝐶) ⊆ 𝐴)) → sup(ran (𝑥𝐵𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ ran (𝑥𝐵𝐶))
125, 8, 10, 4, 11syl13anc 1327 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑥𝐵𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ ran (𝑥𝐵𝐶))
134, 12sseldd 3602 1 (𝜑 → sup(ran (𝑥𝐵𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384  Ⅎwnf 1707   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793   ⊆ wss 3572  ∅c0 3913   ↦ cmpt 4727   Or wor 5032  ran crn 5113  Fincfn 7952  supcsup 8343 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-fin 7956  df-sup 8345 This theorem is referenced by:  uzublem  39476  limsupubuzlem  39750
 Copyright terms: Public domain W3C validator