Theorem fisupg 8760

Description: Lemma showing existence and closure of supremum of a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fisupg	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fisupg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimaxg 8759	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥))
2		sotrieq2 5498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
3	2	simprbda 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)
4	3	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
5	4	anassrs 470	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
6	5	a1dd 50	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
7		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦𝑅𝑥))
8		so2nr 5494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
9		pm3.21 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
10	9	con3d 155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦𝑅𝑥 → (¬ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
11	8, 10	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
12	11	anassrs 470	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
13	7, 12	syl9r 78	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
14	6, 13	pm2.61dne 3103	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
15	14	ralimdva 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
16		breq2 5063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑥))
17	16	rspcev 3623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧)
18	17	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))
19	18	ralrimivw 3183	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))
20	19	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))
21	15, 20	jctird 529	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
22	21	reximdva 3274	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
23	22	3ad2ant1 1129	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
24	1, 23	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  ∅c0 4291   class class class wbr 5059   Or wor 5468  Fincfn 8503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-om 7575  df-1o 8096  df-er 8283  df-en 8504  df-fin 8507

This theorem is referenced by:  fisup2g  8926  fisupcl  8927  rencldnfilem  39410