Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiunelcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiunelcarsg 29511
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
fiunelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fiunelcarsg.2 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
fiunelcarsg (𝜑 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fiunelcarsg
Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑏 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4374 . . 3 (𝑎 = ∅ → 𝑎 = ∅)
2 eqidd 2610 . . 3 (𝑎 = ∅ → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
31, 2eleq12d 2681 . 2 (𝑎 = ∅ → ( 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
4 unieq 4374 . . 3 (𝑎 = 𝑏 𝑎 = 𝑏)
5 eqidd 2610 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
64, 5eleq12d 2681 . 2 (𝑎 = 𝑏 → ( 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
7 unieq 4374 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}))
8 eqidd 2610 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
97, 8eleq12d 2681 . 2 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → ( 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
10 unieq 4374 . . 3 (𝑎 = 𝐴 𝑎 = 𝐴)
11 eqidd 2610 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (toCaraSiga‘𝑀) = (toCaraSiga‘𝑀))
1210, 11eleq12d 2681 . 2 (𝑎 = 𝐴 → ( 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
13 uni0 4395 . . . 4 ∅ = ∅
14 difid 3901 . . . 4 (𝑂𝑂) = ∅
1513, 14eqtr4i 2634 . . 3 ∅ = (𝑂𝑂)
16 carsgval.1 . . . 4 (𝜑𝑂𝑉)
17 carsgval.2 . . . 4 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
18 carsgsiga.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
1916, 17, 18baselcarsg 29501 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
2016, 17, 19difelcarsg 29505 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝑂) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
2115, 20syl5eqel 2691 . 2 (𝜑 ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
22 uniun 4386 . . . . 5 (𝑏 ∪ {𝑥}) = ( 𝑏 {𝑥})
23 vex 3175 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2423unisn 4381 . . . . . 6 {𝑥} = 𝑥
2524uneq2i 3725 . . . . 5 ( 𝑏 {𝑥}) = ( 𝑏𝑥)
2622, 25eqtri 2631 . . . 4 (𝑏 ∪ {𝑥}) = ( 𝑏𝑥)
2716ad2antrr 757 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑂𝑉)
2817ad2antrr 757 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
29 simpr 475 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
30 simpll 785 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝜑)
31 carsgsiga.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
3216, 17, 18, 31carsgsigalem 29510 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
3330, 32syl3an1 1350 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
34 fiunelcarsg.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
3534ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
36 simplrr 796 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝑏))
3736eldifad 3551 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥𝐴)
3835, 37sseldd 3568 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
3927, 28, 29, 33, 38unelcarsg 29507 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → ( 𝑏𝑥) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
4026, 39syl5eqel 2691 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
4140ex 448 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ( 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) → (𝑏 ∪ {𝑥}) ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
42 fiunelcarsg.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
433, 6, 9, 12, 21, 41, 42findcard2d 8064 1 (𝜑 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cdif 3536  cun 3537  wss 3539  c0 3873  𝒫 cpw 4107  {csn 4124   cuni 4366   class class class wbr 4577  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  ωcom 6934  cdom 7816  Fincfn 7818  0cc0 9792  +∞cpnf 9927  cle 9931   +𝑒 cxad 11776  [,]cicc 12005  Σ*cesum 29222  toCaraSigaccarsg 29496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-ordt 15930  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-ps 16969  df-tsr 16970  df-plusf 17010  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-subrg 18547  df-abv 18586  df-lmod 18634  df-scaf 18635  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-tmd 21628  df-tgp 21629  df-tsms 21682  df-trg 21715  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-nm 22138  df-ngp 22139  df-nrg 22141  df-nlm 22142  df-ii 22419  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-esum 29223  df-carsg 29497
This theorem is referenced by:  carsgclctunlem1  29512  carsgclctunlem2  29514  carsgclctunlem3  29515
  Copyright terms: Public domain W3C validator