Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiunelros Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiunelros 30365
Description: A ring of sets is closed under finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isros.1 𝑄 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 ((𝑥𝑦) ∈ 𝑠 ∧ (𝑥𝑦) ∈ 𝑠))}
fiunelros.1 (𝜑𝑆𝑄)
fiunelros.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
fiunelros.3 ((𝜑𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵𝑆)
Assertion
Ref Expression
fiunelros (𝜑 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑂,𝑠   𝑆,𝑠,𝑥,𝑦   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑠)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘,𝑠)   𝑄(𝑥,𝑦,𝑘,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑠)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem fiunelros
Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fiunelros.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
32nnred 11073 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
43leidd 10632 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁𝑁)
5 breq1 4688 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑁 ↔ 1 ≤ 𝑁))
6 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (1..^𝑛) = (1..^1))
76iuneq1d 4577 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵)
87eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵𝑆))
95, 8imbi12d 333 . . . 4 (𝑛 = 1 → ((𝑛𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) ↔ (1 ≤ 𝑁 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵𝑆)))
10 breq1 4688 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝑁𝑖𝑁))
11 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑖 → (1..^𝑛) = (1..^𝑖))
1211iuneq1d 4577 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵)
1312eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆))
1410, 13imbi12d 333 . . . 4 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑛𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) ↔ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)))
15 breq1 4688 . . . . 5 (𝑛 = (𝑖 + 1) → (𝑛𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
16 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑖 + 1) → (1..^𝑛) = (1..^(𝑖 + 1)))
1716iuneq1d 4577 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑖 + 1) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵)
1817eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑛 = (𝑖 + 1) → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵𝑆))
1915, 18imbi12d 333 . . . 4 (𝑛 = (𝑖 + 1) → ((𝑛𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) ↔ ((𝑖 + 1) ≤ 𝑁 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵𝑆)))
20 breq1 4688 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑁𝑁𝑁))
21 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (1..^𝑛) = (1..^𝑁))
2221iuneq1d 4577 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵)
2322eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆))
2420, 23imbi12d 333 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) ↔ (𝑁𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆)))
25 fzo0 12531 . . . . . . . 8 (1..^1) = ∅
26 iuneq1 4566 . . . . . . . 8 ((1..^1) = ∅ → 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵 = 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵 = 𝑘 ∈ ∅ 𝐵
28 0iun 4609 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
2927, 28eqtri 2673 . . . . . 6 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵 = ∅
30 fiunelros.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝑄)
31 isros.1 . . . . . . . 8 𝑄 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 ((𝑥𝑦) ∈ 𝑠 ∧ (𝑥𝑦) ∈ 𝑠))}
32310elros 30361 . . . . . . 7 (𝑆𝑄 → ∅ ∈ 𝑆)
3330, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
3429, 33syl5eqel 2734 . . . . 5 (𝜑 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵𝑆)
3534a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ 𝑁 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵𝑆))
36 simpllr 815 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ)
37 fzosplitsn 12616 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (1..^(𝑖 + 1)) = ((1..^𝑖) ∪ {𝑖}))
38 nnuz 11761 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
3937, 38eleq2s 2748 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ → (1..^(𝑖 + 1)) = ((1..^𝑖) ∪ {𝑖}))
4039iuneq1d 4577 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵 = 𝑘 ∈ ((1..^𝑖) ∪ {𝑖})𝐵)
4136, 40syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵 = 𝑘 ∈ ((1..^𝑖) ∪ {𝑖})𝐵)
42 iunxun 4637 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ((1..^𝑖) ∪ {𝑖})𝐵 = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵)
4341, 42syl6eq 2701 . . . . . 6 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵 = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵))
4430ad3antrrr 766 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑆𝑄)
4536nnred 11073 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
461ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4746nnred 11073 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
48 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
49 nnltp1le 11471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
5036, 46, 49syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
5148, 50mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 < 𝑁)
5245, 47, 51ltled 10223 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖𝑁)
53 simplr 807 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆))
5452, 53mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)
55 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵
56 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
5755, 56iunxsngf 29501 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
5836, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
59 simplll 813 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜑)
60 elfzo1 12557 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
6136, 46, 51, 60syl3anbrc 1265 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 ∈ (1..^𝑁))
62 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁))
63 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑆
6455, 63nfel 2806 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵𝑆
6562, 64nfim 1865 . . . . . . . . . 10 𝑘((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
66 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝑖 ∈ (1..^𝑁)))
6766anbi2d 740 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘 ∈ (1..^𝑁)) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁))))
6856eleq1d 2715 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑆𝑖 / 𝑘𝐵𝑆))
6967, 68imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵𝑆) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)))
70 fiunelros.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵𝑆)
7165, 69, 70chvar 2298 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
7259, 61, 71syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
7358, 72eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵𝑆)
7431unelros 30362 . . . . . . 7 ((𝑆𝑄 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵𝑆) → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵) ∈ 𝑆)
7544, 54, 73, 74syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵) ∈ 𝑆)
7643, 75eqeltrd 2730 . . . . 5 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵𝑆)
7776ex 449 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) → ((𝑖 + 1) ≤ 𝑁 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵𝑆))
789, 14, 19, 24, 35, 77nnindd 29694 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆))
794, 78mpd 15 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆)
801, 79mpdan 703 1 (𝜑 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  csb 3566  cdif 3604  cun 3605  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   ciun 4552   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  cuz 11725  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator