MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiusgraedgfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiusgraedgfi 25674
Description: In a finite graph the number of edges which contain a given vertex is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fiusgraedgfi ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fiusgraedgfi
StepHypRef Expression
1 usgrav 25605 . . . . . 6 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
21simprd 477 . . . . 5 (𝑉 USGrph 𝐸𝐸 ∈ V)
3 dmexg 6865 . . . . 5 (𝐸 ∈ V → dom 𝐸 ∈ V)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝑉 USGrph 𝐸 → dom 𝐸 ∈ V)
543ad2ant1 1074 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → dom 𝐸 ∈ V)
6 rabexg 4638 . . 3 (dom 𝐸 ∈ V → {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)} ∈ V)
75, 6syl 17 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)} ∈ V)
8 hashcl 12874 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
983ad2ant2 1075 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
10 usgraedgleord 25661 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑁𝑉) → (#‘{𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)}) ≤ (#‘𝑉))
11103adant2 1072 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (#‘{𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)}) ≤ (#‘𝑉))
12 hashbnd 12853 . 2 (({𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)} ∈ V ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘{𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)}) ≤ (#‘𝑉)) → {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)} ∈ Fin)
137, 9, 11, 12syl3anc 1317 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑥)} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030  wcel 1938  {crab 2804  Vcvv 3077   class class class wbr 4481  dom cdm 4932  cfv 5689  Fincfn 7717  cle 9830  0cn0 11047  #chash 12847   USGrph cusg 25597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-2o 7324  df-oadd 7327  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-card 8524  df-cda 8749  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-fz 12066  df-hash 12848  df-usgra 25600
This theorem is referenced by:  usgrafilem2  25679
  Copyright terms: Public domain W3C validator