Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flcidc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flcidc 37225
Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
flcidc.f (𝜑𝐹 = (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
flcidc.s (𝜑𝑆 ∈ Fin)
flcidc.k (𝜑𝐾𝑆)
flcidc.b ((𝜑𝑖𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
flcidc (𝜑 → Σ𝑖𝑆 ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 𝐾 / 𝑖𝐵)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹   𝑆,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝐵,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem flcidc
StepHypRef Expression
1 flcidc.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
21fveq1d 6150 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑖) = ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
32adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) = ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
4 flcidc.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾𝑆)
54snssd 4309 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝑆)
65sselda 3583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝑖𝑆)
7 eqeq1 2625 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = 𝐾𝑖 = 𝐾))
87ifbid 4080 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝐾, 1, 0) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
9 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))
10 1ex 9979 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
11 c0ex 9978 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1210, 11ifex 4128 . . . . . . . . 9 if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ V
138, 9, 12fvmpt 6239 . . . . . . . 8 (𝑖𝑆 → ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
146, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
153, 14eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
16 elsni 4165 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ {𝐾} → 𝑖 = 𝐾)
1716iftrued 4066 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ {𝐾} → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
1817adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
1915, 18eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) = 1)
2019oveq1d 6619 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
21 flcidc.b . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
226, 21syldan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2322mulid2d 10002 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
2420, 23eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 𝐵)
2524sumeq2dv 14367 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵)
26 ax-1cn 9938 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
27 0cn 9976 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
2826, 27keepel 4127 . . . . 5 if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℂ
2915, 28syl6eqel 2706 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
3029, 22mulcld 10004 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) ∈ ℂ)
312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹𝑖) = ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
32 eldifi 3710 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → 𝑖𝑆)
3332adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝑖𝑆)
3433, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
3531, 34eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
36 eldifn 3711 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 ∈ {𝐾})
37 velsn 4164 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ {𝐾} ↔ 𝑖 = 𝐾)
3836, 37sylnib 318 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 = 𝐾)
3938iffalsed 4069 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
4039adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
4135, 40eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹𝑖) = 0)
4241oveq1d 6619 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
4333, 21syldan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4443mul02d 10178 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (0 · 𝐵) = 0)
4542, 44eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 0)
46 flcidc.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
475, 30, 45, 46fsumss 14389 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖𝑆 ((𝐹𝑖) · 𝐵))
48 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐾 → (𝑗𝑆𝐾𝑆))
4948anbi2d 739 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑𝑗𝑆) ↔ (𝜑𝐾𝑆)))
50 csbeq1 3517 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐾𝑗 / 𝑖𝐵 = 𝐾 / 𝑖𝐵)
5150eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐾 → (𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ))
5249, 51imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐾 → (((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐾𝑆) → 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)))
53 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑗𝑆)
54 nfcsb1v 3530 . . . . . . . . 9 𝑖𝑗 / 𝑖𝐵
5554nfel1 2775 . . . . . . . 8 𝑖𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ
5653, 55nfim 1822 . . . . . . 7 𝑖((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
57 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖𝑆𝑗𝑆))
5857anbi2d 739 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑𝑖𝑆) ↔ (𝜑𝑗𝑆)))
59 csbeq1a 3523 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑖𝐵)
6059eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ))
6158, 60imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑𝑖𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)))
6256, 61, 21chvar 2261 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
6352, 62vtoclg 3252 . . . . 5 (𝐾𝑆 → ((𝜑𝐾𝑆) → 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ))
6463anabsi7 859 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑆) → 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
654, 64mpdan 701 . . 3 (𝜑𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
66 sumsns 14409 . . 3 ((𝐾𝑆𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐾 / 𝑖𝐵)
674, 65, 66syl2anc 692 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐾 / 𝑖𝐵)
6825, 47, 673eqtr3d 2663 1 (𝜑 → Σ𝑖𝑆 ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 𝐾 / 𝑖𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  csb 3514  cdif 3552  ifcif 4058  {csn 4148  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  Σcsu 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator