Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flddmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flddmn 32823
Description: A field is a domain. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
flddmn (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ Dmn)

Proof of Theorem flddmn
StepHypRef Expression
1 divrngpr 32818 . . 3 (𝐾 ∈ DivRingOps → 𝐾 ∈ PrRing)
21anim1i 589 . 2 ((𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps) → (𝐾 ∈ PrRing ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
3 isfld2 32770 . 2 (𝐾 ∈ Fld ↔ (𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
4 isdmn2 32820 . 2 (𝐾 ∈ Dmn ↔ (𝐾 ∈ PrRing ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
52, 3, 43imtr4i 279 1 (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ Dmn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976  DivRingOpscdrng 32713  Fldcfld 32756  CRingOpsccring 32758  PrRingcprrng 32811  Dmncdmn 32812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-1o 7424  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-grpo 26497  df-gid 26498  df-ginv 26499  df-ablo 26552  df-ass 32608  df-exid 32610  df-mgmOLD 32614  df-sgrOLD 32626  df-mndo 32632  df-rngo 32660  df-drngo 32714  df-fld 32757  df-crngo 32759  df-idl 32775  df-pridl 32776  df-prrngo 32813  df-dmn 32814
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator