Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flddmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flddmn 34170
Description: A field is a domain. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
flddmn (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ Dmn)

Proof of Theorem flddmn
StepHypRef Expression
1 divrngpr 34165 . . 3 (𝐾 ∈ DivRingOps → 𝐾 ∈ PrRing)
21anim1i 593 . 2 ((𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps) → (𝐾 ∈ PrRing ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
3 isfld2 34117 . 2 (𝐾 ∈ Fld ↔ (𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
4 isdmn2 34167 . 2 (𝐾 ∈ Dmn ↔ (𝐾 ∈ PrRing ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
52, 3, 43imtr4i 281 1 (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ Dmn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  DivRingOpscdrng 34060  Fldcfld 34103  CRingOpsccring 34105  PrRingcprrng 34158  Dmncdmn 34159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-grpo 27656  df-gid 27657  df-ginv 27658  df-ablo 27708  df-ass 33955  df-exid 33957  df-mgmOLD 33961  df-sgrOLD 33973  df-mndo 33979  df-rngo 34007  df-drngo 34061  df-fld 34104  df-crngo 34106  df-idl 34122  df-pridl 34123  df-prrngo 34160  df-dmn 34161
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator