Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv4lem1div2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldiv4lem1div2 12852
 Description: The floor of a positive integer divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4lem1div2 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 11978 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 1lt4 11411 . . . . . 6 1 < 4
3 1nn0 11520 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
4 4nn 11399 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
5 divfl0 12839 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0))
63, 4, 5mp2an 710 . . . . . 6 (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0)
72, 6mpbi 220 . . . . 5 (⌊‘(1 / 4)) = 0
8 1re 10251 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
9 4re 11309 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
10 4ne0 11329 . . . . . . 7 4 ≠ 0
11 redivcl 10956 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (1 / 4) ∈ ℝ)
1211flcld 12813 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ)
1312zred 11694 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ)
148, 9, 10, 13mp3an 1573 . . . . . 6 (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ
1514eqlei 10359 . . . . 5 ((⌊‘(1 / 4)) = 0 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
167, 15mp1i 13 . . . 4 (𝑁 = 1 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
17 oveq1 6821 . . . . 5 (𝑁 = 1 → (𝑁 / 4) = (1 / 4))
1817fveq2d 6357 . . . 4 (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(1 / 4)))
19 oveq1 6821 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
20 1m1e0 11301 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
2119, 20syl6eq 2810 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
2221oveq1d 6829 . . . . 5 (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = (0 / 2))
23 2cnne0 11454 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
24 div0 10927 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (0 / 2) = 0)
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 (0 / 2) = 0
2622, 25syl6eq 2810 . . . 4 (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = 0)
2716, 18, 263brtr4d 4836 . . 3 (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
28 fldiv4lem1div2uz2 12851 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
2927, 28jaoi 393 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
301, 29sylbi 207 1 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   < clt 10286   ≤ cle 10287   − cmin 10478   / cdiv 10896  ℕcn 11232  2c2 11282  4c4 11284  ℕ0cn0 11504  ℤ≥cuz 11899  ⌊cfl 12805 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fl 12807 This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0g  25307
 Copyright terms: Public domain W3C validator