MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv4lem1div2uz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldiv4lem1div2uz2 12851
Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4lem1div2uz2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11909 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 zre 11593 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4 4re 11309 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
54a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
6 4ne0 11329 . . . . . 6 4 ≠ 0
76a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
83, 5, 7redivcld 11065 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
92, 8syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
10 flle 12814 . . 3 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
111, 9, 103syl 18 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
12 1red 10267 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
13 eluzelre 11910 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 rehalfcl 11470 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
151, 2, 143syl 18 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
16 2rp 12050 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ+)
18 eluzle 11912 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
19 divge1 12111 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
2017, 13, 18, 19syl3anc 1477 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
21 eluzelcn 11911 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
22 subhalfhalf 11478 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
2420, 23breqtrrd 4832 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ (𝑁 − (𝑁 / 2)))
2512, 13, 15, 24lesubd 10843 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))
26 2t2e4 11389 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
2726eqcomi 2769 . . . . . . . 8 4 = (2 · 2)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 4 = (2 · 2))
2928oveq2d 6830 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 4) = (𝑁 / (2 · 2)))
30 2cnne0 11454 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
32 divdiv1 10948 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
3321, 31, 31, 32syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
3429, 33eqtr4d 2797 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 4) = ((𝑁 / 2) / 2))
3534breq1d 4814 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
36 peano2rem 10560 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
37 2re 11302 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
38 2pos 11324 . . . . . . . . 9 0 < 2
3937, 38pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
4114, 36, 403jca 1123 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
421, 2, 413syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
43 lediv1 11100 . . . . 5 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
4442, 43syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
4535, 44bitr4d 271 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1)))
4625, 45mpbird 247 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
478flcld 12813 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
4847zred 11694 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
4936rehalfcld 11491 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
5048, 8, 493jca 1123 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
511, 2, 503syl 18 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
52 letr 10343 . . 3 (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ∧ (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
5351, 52syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ∧ (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
5411, 46, 53mp2and 717 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  2c2 11282  4c4 11284  cz 11589  cuz 11899  +crp 12045  cfl 12805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fl 12807
This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  12852  gausslemma2dlem4  25314
  Copyright terms: Public domain W3C validator