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Theorem fldiv4p1lem1div2 12455
Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4p1lem1div2 ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 1le1 10506 . . . 4 1 ≤ 1
21a1i 11 . . 3 (𝑁 = 3 → 1 ≤ 1)
3 oveq1 6533 . . . . . . 7 (𝑁 = 3 → (𝑁 / 4) = (3 / 4))
43fveq2d 6091 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(3 / 4)))
5 3lt4 11046 . . . . . . 7 3 < 4
6 3nn0 11159 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
7 4nn 11036 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
8 divfl0 12444 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0))
96, 7, 8mp2an 703 . . . . . . 7 (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0)
105, 9mpbi 218 . . . . . 6 (⌊‘(3 / 4)) = 0
114, 10syl6eq 2659 . . . . 5 (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 0)
1211oveq1d 6541 . . . 4 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (0 + 1))
13 0p1e1 10981 . . . 4 (0 + 1) = 1
1412, 13syl6eq 2659 . . 3 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 1)
15 oveq1 6533 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = (3 − 1))
16 3m1e2 10986 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
1715, 16syl6eq 2659 . . . . 5 (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = 2)
1817oveq1d 6541 . . . 4 (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = (2 / 2))
19 2div2e1 10999 . . . 4 (2 / 2) = 1
2018, 19syl6eq 2659 . . 3 (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = 1)
212, 14, 203brtr4d 4609 . 2 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
22 uzp1 11555 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1))))
23 2re 10939 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2423leidi 10413 . . . . . 6 2 ≤ 2
2524a1i 11 . . . . 5 (𝑁 = 5 → 2 ≤ 2)
26 oveq1 6533 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 5 → (𝑁 / 4) = (5 / 4))
2726fveq2d 6091 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(5 / 4)))
28 df-5 10931 . . . . . . . . . . . 12 5 = (4 + 1)
2928oveq1i 6536 . . . . . . . . . . 11 (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
30 4cn 10947 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
31 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
32 4ne0 10966 . . . . . . . . . . . . 13 4 ≠ 0
3330, 31, 30, 32divdiri 10633 . . . . . . . . . . . 12 ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
3430, 32dividi 10609 . . . . . . . . . . . . 13 (4 / 4) = 1
3534oveq1i 6536 . . . . . . . . . . . 12 ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
3633, 35eqtri 2631 . . . . . . . . . . 11 ((4 + 1) / 4) = (1 + (1 / 4))
3729, 36eqtri 2631 . . . . . . . . . 10 (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
3837fveq2i 6090 . . . . . . . . 9 (⌊‘(5 / 4)) = (⌊‘(1 + (1 / 4)))
39 1re 9895 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
40 0le1 10402 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
41 4re 10946 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
42 4pos 10965 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
43 divge0 10743 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
4439, 40, 41, 42, 43mp4an 704 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 4)
45 1lt4 11048 . . . . . . . . . . 11 1 < 4
46 recgt1 10770 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
4741, 42, 46mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
4845, 47mpbi 218 . . . . . . . . . 10 (1 / 4) < 1
49 1z 11242 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
5041, 32rereccli 10641 . . . . . . . . . . 11 (1 / 4) ∈ ℝ
51 flbi2 12437 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
5249, 50, 51mp2an 703 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1))
5344, 48, 52mpbir2an 956 . . . . . . . . 9 (⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1
5438, 53eqtri 2631 . . . . . . . 8 (⌊‘(5 / 4)) = 1
5527, 54syl6eq 2659 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 1)
5655oveq1d 6541 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (1 + 1))
57 1p1e2 10983 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
5856, 57syl6eq 2659 . . . . 5 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 2)
59 oveq1 6533 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = (5 − 1))
6030, 31, 28mvrraddi 10149 . . . . . . . 8 (5 − 1) = 4
6159, 60syl6eq 2659 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = 4)
6261oveq1d 6541 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = (4 / 2))
63 4d2e2 11033 . . . . . 6 (4 / 2) = 2
6462, 63syl6eq 2659 . . . . 5 (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = 2)
6525, 58, 643brtr4d 4609 . . . 4 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
66 eluz2 11527 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
67 zre 11216 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
68 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
6941a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
7032a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
7168, 69, 70redivcld 10704 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
72 flle 12419 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7367, 71, 723syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7473adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7571flcld 12418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
7675zred 11316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
7739a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
7876, 71, 773jca 1234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
7967, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
8079adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
81 leadd1 10347 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
8374, 82mpbid 220 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1))
84 div4p1lem1div2 11136 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
8567, 84sylan 486 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
86 peano2re 10060 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
8776, 86syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
88 peano2re 10060 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
8971, 88syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
90 peano2rem 10199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
9190rehalfcld 11128 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
9287, 89, 913jca 1234 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
9367, 92syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
9493adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
95 letr 9982 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
9783, 85, 96mp2and 710 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
98973adant1 1071 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
9966, 98sylbi 205 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
100 5p1e6 11004 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
101100fveq2i 6090 . . . . 5 (ℤ‘(5 + 1)) = (ℤ‘6)
10299, 101eleq2s 2705 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10365, 102jaoi 392 . . 3 ((𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1))) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10422, 103syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10521, 104jaoi 392 1 ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5789  (class class class)co 6526  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10535  cn 10869  2c2 10919  3c3 10920  4c4 10921  5c5 10922  6c6 10923  0cn0 11141  cz 11212  cuz 11521  cfl 12410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-rp 11667  df-fl 12412
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  24830
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