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Theorem fldiv4p1lem1div2 12676
Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4p1lem1div2 ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 1le1 10693 . . . 4 1 ≤ 1
21a1i 11 . . 3 (𝑁 = 3 → 1 ≤ 1)
3 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑁 = 3 → (𝑁 / 4) = (3 / 4))
43fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(3 / 4)))
5 3lt4 11235 . . . . . . 7 3 < 4
6 3nn0 11348 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
7 4nn 11225 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
8 divfl0 12665 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0))
96, 7, 8mp2an 708 . . . . . . 7 (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0)
105, 9mpbi 220 . . . . . 6 (⌊‘(3 / 4)) = 0
114, 10syl6eq 2701 . . . . 5 (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 0)
1211oveq1d 6705 . . . 4 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (0 + 1))
13 0p1e1 11170 . . . 4 (0 + 1) = 1
1412, 13syl6eq 2701 . . 3 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 1)
15 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = (3 − 1))
16 3m1e2 11175 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
1715, 16syl6eq 2701 . . . . 5 (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = 2)
1817oveq1d 6705 . . . 4 (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = (2 / 2))
19 2div2e1 11188 . . . 4 (2 / 2) = 1
2018, 19syl6eq 2701 . . 3 (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = 1)
212, 14, 203brtr4d 4717 . 2 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
22 uzp1 11759 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1))))
23 2re 11128 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2423leidi 10600 . . . . . 6 2 ≤ 2
2524a1i 11 . . . . 5 (𝑁 = 5 → 2 ≤ 2)
26 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 5 → (𝑁 / 4) = (5 / 4))
2726fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(5 / 4)))
28 df-5 11120 . . . . . . . . . . . 12 5 = (4 + 1)
2928oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
30 4cn 11136 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
31 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
32 4ne0 11155 . . . . . . . . . . . . 13 4 ≠ 0
3330, 31, 30, 32divdiri 10820 . . . . . . . . . . . 12 ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
3430, 32dividi 10796 . . . . . . . . . . . . 13 (4 / 4) = 1
3534oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . 12 ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
3633, 35eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 ((4 + 1) / 4) = (1 + (1 / 4))
3729, 36eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
3837fveq2i 6232 . . . . . . . . 9 (⌊‘(5 / 4)) = (⌊‘(1 + (1 / 4)))
39 1re 10077 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
40 0le1 10589 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
41 4re 11135 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
42 4pos 11154 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
43 divge0 10930 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
4439, 40, 41, 42, 43mp4an 709 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 4)
45 1lt4 11237 . . . . . . . . . . 11 1 < 4
46 recgt1 10957 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
4741, 42, 46mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
4845, 47mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (1 / 4) < 1
49 1z 11445 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
5041, 32rereccli 10828 . . . . . . . . . . 11 (1 / 4) ∈ ℝ
51 flbi2 12658 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
5249, 50, 51mp2an 708 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1))
5344, 48, 52mpbir2an 975 . . . . . . . . 9 (⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1
5438, 53eqtri 2673 . . . . . . . 8 (⌊‘(5 / 4)) = 1
5527, 54syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 1)
5655oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (1 + 1))
57 1p1e2 11172 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
5856, 57syl6eq 2701 . . . . 5 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 2)
59 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = (5 − 1))
6030, 31, 28mvrraddi 10336 . . . . . . . 8 (5 − 1) = 4
6159, 60syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = 4)
6261oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = (4 / 2))
63 4d2e2 11222 . . . . . 6 (4 / 2) = 2
6462, 63syl6eq 2701 . . . . 5 (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = 2)
6525, 58, 643brtr4d 4717 . . . 4 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
66 eluz2 11731 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
67 zre 11419 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
68 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
6941a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
7032a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
7168, 69, 70redivcld 10891 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
72 flle 12640 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7367, 71, 723syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7473adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7571flcld 12639 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
7675zred 11520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
7739a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
7876, 71, 773jca 1261 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
7967, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
8079adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
81 leadd1 10534 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
8374, 82mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1))
84 div4p1lem1div2 11325 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
8567, 84sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
86 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
8776, 86syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
88 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
8971, 88syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
90 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
9190rehalfcld 11317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
9287, 89, 913jca 1261 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
9367, 92syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
9493adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
95 letr 10169 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
9783, 85, 96mp2and 715 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
98973adant1 1099 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
9966, 98sylbi 207 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
100 5p1e6 11193 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
101100fveq2i 6232 . . . . 5 (ℤ‘(5 + 1)) = (ℤ‘6)
10299, 101eleq2s 2748 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10365, 102jaoi 393 . . 3 ((𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1))) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10422, 103syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10521, 104jaoi 393 1 ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  cfl 12631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  25131
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