Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldivexpfllog2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldivexpfllog2 42264
Description: The floor of a positive real number divided by 2 to the power of the floor of the logarithm to base 2 of the number is 1. (Contributed by AV, 26-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fldivexpfllog2 (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1)

Proof of Theorem fldivexpfllog2
StepHypRef Expression
1 2z 11148 . . . . 5 2 ∈ ℤ
2 uzid 11438 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
31, 2mp1i 13 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ (ℤ‘2))
4 id 22 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+)
5 eqid 2514 . . . 4 (⌊‘(2 logb 𝑋)) = (⌊‘(2 logb 𝑋))
63, 4, 5fllogbd 42259 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ+ → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1))))
7 2re 10843 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
9 2ne0 10866 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
11 relogbzcl 24229 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
123, 4, 11syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ+ → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
1312flcld 12326 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(2 logb 𝑋)) ∈ ℤ)
148, 10, 13reexpclzd 12761 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ)
15 2pos 10865 . . . . . . . . 9 0 < 2
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ+ → 0 < 2)
17 expgt0 12620 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑋)) ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))
188, 13, 16, 17syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ+ → 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))
1914, 18elrpd 11607 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+)
20 rpre 11577 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ)
21 divge1b 42203 . . . . . . 7 (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ) → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))))
2221bicomd 211 . . . . . 6 (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ↔ (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋))
2319, 20, 22syl2anc 690 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ+ → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ↔ (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋))
2423biimprd 236 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ+ → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 → 1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))))
25 2cnd 10846 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
2625, 10, 13expp1zd 12744 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) = ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2))
2726breq2d 4493 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
28 ltdivmul 10645 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) → ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2 ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
2920, 8, 14, 18, 28syl112anc 1321 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ+ → ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2 ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
3027, 29bitr4d 269 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) ↔ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2))
3130biimpd 217 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2))
32 1p1e2 10887 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
3332breq2i 4489 . . . . 5 ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1) ↔ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2)
3431, 33syl6ibr 240 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1)))
3524, 34anim12d 583 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ+ → (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1))) → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
366, 35mpd 15 . 2 (𝑋 ∈ ℝ+ → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1)))
3725, 10, 13expne0d 12741 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≠ 0)
3820, 14, 37redivcld 10600 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∈ ℝ)
39 1zzd 11147 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℤ)
40 flbi 12344 . . 3 (((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
4138, 39, 40syl2anc 690 . 2 (𝑋 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
4236, 41mpbird 245 1 (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684   class class class wbr 4481  cfv 5689  (class class class)co 6425  cr 9688  0cc0 9689  1c1 9690   + caddc 9692   · cmul 9694   < clt 9827  cle 9828   / cdiv 10431  2c2 10823  cz 11116  cuz 11423  +crp 11570  cfl 12318  cexp 12587   logb clogb 24219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-inf2 8295  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766  ax-pre-sup 9767  ax-addf 9768  ax-mulf 9769
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-of 6669  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-supp 7056  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-1o 7321  df-2o 7322  df-oadd 7325  df-er 7503  df-map 7620  df-pm 7621  df-ixp 7669  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-fsupp 8033  df-fi 8074  df-sup 8105  df-inf 8106  df-oi 8172  df-card 8522  df-cda 8747  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-div 10432  df-nn 10774  df-2 10832  df-3 10833  df-4 10834  df-5 10835  df-6 10836  df-7 10837  df-8 10838  df-9 10839  df-10OLD 10840  df-n0 11046  df-z 11117  df-dec 11232  df-uz 11424  df-q 11527  df-rp 11571  df-xneg 11684  df-xadd 11685  df-xmul 11686  df-ioo 11916  df-ioc 11917  df-ico 11918  df-icc 11919  df-fz 12063  df-fzo 12200  df-fl 12320  df-mod 12396  df-seq 12529  df-exp 12588  df-fac 12788  df-bc 12817  df-hash 12845  df-shft 13510  df-cj 13542  df-re 13543  df-im 13544  df-sqrt 13678  df-abs 13679  df-limsup 13906  df-clim 13929  df-rlim 13930  df-sum 14130  df-ef 14503  df-sin 14505  df-cos 14506  df-pi 14508  df-struct 15602  df-ndx 15603  df-slot 15604  df-base 15605  df-sets 15606  df-ress 15607  df-plusg 15686  df-mulr 15687  df-starv 15688  df-sca 15689  df-vsca 15690  df-ip 15691  df-tset 15692  df-ple 15693  df-ds 15696  df-unif 15697  df-hom 15698  df-cco 15699  df-rest 15811  df-topn 15812  df-0g 15830  df-gsum 15831  df-topgen 15832  df-pt 15833  df-prds 15836  df-xrs 15890  df-qtop 15896  df-imas 15897  df-xps 15900  df-mre 15982  df-mrc 15983  df-acs 15985  df-mgm 16978  df-sgrp 17020  df-mnd 17031  df-submnd 17072  df-mulg 17277  df-cntz 17486  df-cmn 17947  df-psmet 19484  df-xmet 19485  df-met 19486  df-bl 19487  df-mopn 19488  df-fbas 19489  df-fg 19490  df-cnfld 19493  df-top 20445  df-bases 20446  df-topon 20447  df-topsp 20448  df-cld 20557  df-ntr 20558  df-cls 20559  df-nei 20636  df-lp 20674  df-perf 20675  df-cn 20765  df-cnp 20766  df-haus 20853  df-tx 21099  df-hmeo 21292  df-fil 21384  df-fm 21476  df-flim 21477  df-flf 21478  df-xms 21858  df-ms 21859  df-tms 21860  df-cncf 22433  df-limc 23339  df-dv 23340  df-log 24024  df-cxp 24025  df-logb 24220
This theorem is referenced by:  dig2nn1st  42304
  Copyright terms: Public domain W3C validator