MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fleqceilz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fleqceilz 13210
Description: A real number is an integer iff its floor equals its ceiling. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
fleqceilz (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))

Proof of Theorem fleqceilz
StepHypRef Expression
1 flid 13166 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
2 ceilid 13207 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (⌈‘𝐴) = 𝐴)
31, 2eqtr4d 2856 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴))
4 eqeq1 2822 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
54adantr 481 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
6 ceilidz 13208 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌈‘𝐴) = 𝐴))
7 eqcom 2825 . . . . . . . 8 ((⌈‘𝐴) = 𝐴𝐴 = (⌈‘𝐴))
86, 7syl6bb 288 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
98biimprd 249 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
109adantl 482 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
115, 10sylbid 241 . . . 4 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
1211ex 413 . . 3 ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
13 flle 13157 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
14 df-ne 3014 . . . . 5 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
15 necom 3066 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
16 reflcl 13154 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
17 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
1816, 17ltlend 10773 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))))
19 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
21 ceilge 13202 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (⌈‘𝐴))
22 ceilcl 13200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℤ)
2322zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℝ)
2417, 23lenltd 10774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) ↔ ¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
25 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴 → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
2624, 25syl6bi 254 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ)))
2721, 26mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
2920, 28sylbid 241 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3029ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ)))
3130com23 86 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
3218, 31sylbird 261 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
3332expd 416 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
3433com3r 87 . . . . . 6 (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
3515, 34sylbi 218 . . . . 5 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
3614, 35sylbir 236 . . . 4 (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
3713, 36mpdi 45 . . 3 (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
3812, 37pm2.61i 183 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
393, 38impbid2 227 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  cr 10524   < clt 10663  cle 10664  cz 11969  cfl 13148  cceil 13149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fl 13150  df-ceil 13151
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator