MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flftg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flftg 21710
Description: Limit points of a function can be defined using topological bases. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flftg.l 𝐽 = (topGen‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
flftg ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))))
Distinct variable groups:   𝑜,𝑠,𝐴   𝐵,𝑜   𝑜,𝐹,𝑠   𝐽,𝑠   𝑜,𝐿,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑠)   𝐽(𝑜)   𝑋(𝑜)   𝑌(𝑜)

Proof of Theorem flftg
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isflf 21707 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))))
2 flftg.l . . . . 5 𝐽 = (topGen‘𝐵)
32raleqi 3131 . . . 4 (∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
4 simpl1 1062 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5 topontop 20641 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
72, 6syl5eqelr 2703 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
8 tgclb 20685 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
97, 8sylibr 224 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐵 ∈ TopBases)
10 bastg 20681 . . . . . 6 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
11 eleq2 2687 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑜 → (𝐴𝑢𝐴𝑜))
12 sseq2 3606 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑜 → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))
1312rexbidv 3045 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑜 → (∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))
1411, 13imbi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑜 → ((𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
1514cbvralv 3159 . . . . . . 7 (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))
16 ssralv 3645 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵) → (∀𝑜 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
1715, 16syl5bi 232 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵) → (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) → ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
189, 10, 173syl 18 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) → ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
19 tg2 20680 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢))
20 r19.29 3065 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ ∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑜𝐵 ((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ (𝐴𝑜𝑜𝑢)))
21 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → 𝐴𝑜)
22 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → 𝑜𝑢)
23 sstr2 3590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑜 → (𝑜𝑢 → (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2422, 23syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑜 → (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2524reximdv 3010 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → (∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2621, 25embantd 59 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → ((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2726impcom 446 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)
2827rexlimivw 3022 . . . . . . . . . 10 (∃𝑜𝐵 ((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)
2920, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ ∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)
3029ex 450 . . . . . . . 8 (∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → (∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3119, 30syl5 34 . . . . . . 7 (∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3231expdimp 453 . . . . . 6 ((∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ 𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3332ralrimiva 2960 . . . . 5 (∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3418, 33impbid1 215 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
353, 34syl5bb 272 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
3635pm5.32da 672 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))))
371, 36bitrd 268 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  wss 3555  cima 5077  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  topGenctg 16019  Topctop 20617  TopOnctopon 20618  TopBasesctb 20620  Filcfil 21559   fLimf cflf 21649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804  df-topgen 16025  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-ntr 20734  df-nei 20812  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654
This theorem is referenced by:  txflf  21720
  Copyright terms: Public domain W3C validator