MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flftg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flftg 21993
Description: Limit points of a function can be defined using topological bases. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flftg.l 𝐽 = (topGen‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
flftg ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))))
Distinct variable groups:   𝑜,𝑠,𝐴   𝐵,𝑜   𝑜,𝐹,𝑠   𝐽,𝑠   𝑜,𝐿,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑠)   𝐽(𝑜)   𝑋(𝑜)   𝑌(𝑜)

Proof of Theorem flftg
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isflf 21990 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))))
2 flftg.l . . . . 5 𝐽 = (topGen‘𝐵)
32raleqi 3273 . . . 4 (∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
4 simpl1 1225 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5 topontop 20912 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
72, 6syl5eqelr 2836 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
8 tgclb 20968 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
97, 8sylibr 224 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐵 ∈ TopBases)
10 bastg 20964 . . . . . 6 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
11 eleq2w 2815 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑜 → (𝐴𝑢𝐴𝑜))
12 sseq2 3760 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑜 → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))
1312rexbidv 3182 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑜 → (∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))
1411, 13imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑜 → ((𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
1514cbvralv 3302 . . . . . . 7 (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))
16 ssralv 3799 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵) → (∀𝑜 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
1715, 16syl5bi 232 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵) → (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) → ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
189, 10, 173syl 18 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) → ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
19 tg2 20963 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢))
20 r19.29 3202 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ ∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑜𝐵 ((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ (𝐴𝑜𝑜𝑢)))
21 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → 𝐴𝑜)
22 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → 𝑜𝑢)
23 sstr2 3743 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑜 → (𝑜𝑢 → (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2422, 23syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑜 → (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2524reximdv 3146 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → (∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2621, 25embantd 59 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → ((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2726impcom 445 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)
2827rexlimivw 3159 . . . . . . . . . 10 (∃𝑜𝐵 ((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)
2920, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ ∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)
3029ex 449 . . . . . . . 8 (∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → (∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3119, 30syl5 34 . . . . . . 7 (∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3231expdimp 452 . . . . . 6 ((∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ 𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3332ralrimiva 3096 . . . . 5 (∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3418, 33impbid1 215 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
353, 34syl5bb 272 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
3635pm5.32da 676 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))))
371, 36bitrd 268 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  wrex 3043  wss 3707  cima 5261  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  topGenctg 16292  Topctop 20892  TopOnctopon 20909  TopBasesctb 20943  Filcfil 21842   fLimf cflf 21932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-map 8017  df-topgen 16298  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-top 20893  df-topon 20910  df-bases 20944  df-ntr 21018  df-nei 21096  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937
This theorem is referenced by:  txflf  22003
  Copyright terms: Public domain W3C validator