Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flge 12546
 Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
flge ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))

Proof of Theorem flge
StepHypRef Expression
1 flltp1 12541 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
21adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
43zred 11426 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 simpl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
65flcld 12539 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
76peano2zd 11429 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
87zred 11426 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
9 lelttr 10072 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
104, 5, 8, 9syl3anc 1323 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
112, 10mpan2d 709 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
12 zleltp1 11372 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
133, 6, 12syl2anc 692 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
1411, 13sylibrd 249 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))
15 flle 12540 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
1615adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
176zred 11426 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
18 letr 10075 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴) → 𝐵𝐴))
194, 17, 5, 18syl3anc 1323 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴) → 𝐵𝐴))
2016, 19mpan2d 709 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) → 𝐵𝐴))
2114, 20impbid 202 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℝcr 9879  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018   ≤ cle 10019  ℤcz 11321  ⌊cfl 12531 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fl 12533 This theorem is referenced by:  fllt  12547  flid  12549  flwordi  12553  flval2  12555  flval3  12556  flge0nn0  12561  flge1nn  12562  flmulnn0  12568  btwnzge0  12569  fznnfl  12601  modmuladdnn0  12654  absrdbnd  14015  limsupgre  14146  climrlim2  14212  isprm7  15344  hashdvds  15404  prmreclem3  15546  ovolunlem1a  23171  mbfi1fseqlem4  23391  mbfi1fseqlem5  23392  dvfsumlem1  23693  dvfsumlem3  23695  ppisval  24730  dvdsflf1o  24813  ppiub  24829  chtub  24837  fsumvma2  24839  chpval2  24843  chpchtsum  24844  efexple  24906  bposlem3  24911  bposlem4  24912  bposlem5  24913  gausslemma2dlem4  24994  lgsquadlem1  25005  lgsquadlem2  25006  chebbnd1lem2  25059  chebbnd1lem3  25060  dchrisum0lem1  25105  pntrlog2bndlem6  25172  pntpbnd1  25175  pntpbnd2  25176  pntlemh  25188  pntlemj  25192  pntlemf  25194  dirkertrigeqlem3  39621  nnolog2flm1  41673
 Copyright terms: Public domain W3C validator