Theorem flge0nn0 12561

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 12536	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 11332	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 12546	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 706	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 501	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 11334	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 697	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  ℝcr 9879  0cc0 9880   ≤ cle 10019  ℕ₀cn0 11236  ℤcz 11321  ⌊cfl 12531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fl 12533

This theorem is referenced by:  fldivnn0  12563  expnbnd  12933  facavg  13028  o1fsum  14472  efcllem  14733  odzdvds  15424  prmreclem3  15546  1arith  15555  odmodnn0  17880  lebnumii  22673  lmnn  22969  vitalilem4  23286  mbfi1fseqlem1  23388  mbfi1fseqlem3  23390  mbfi1fseqlem5  23392  harmoniclbnd  24635  harmonicbnd4  24637  fsumharmonic  24638  ppiltx  24803  logfac2  24842  chpval2  24843  chpchtsum  24844  chpub  24845  logfaclbnd  24847  logfacbnd3  24848  logfacrlim  24849  bposlem1  24909  gausslemma2dlem0d  24984  lgsquadlem2  25006  chtppilimlem1  25062  vmadivsum  25071  rpvmasumlem  25076  dchrisumlema  25077  dchrisumlem1  25078  dchrisum0lem1b  25104  dchrisum0lem1  25105  dchrisum0lem2a  25106  dchrisum0lem3  25108  mudivsum  25119  mulogsumlem  25120  selberglem2  25135  selberg2lem  25139  pntrsumo1  25154  pntrlog2bndlem2  25167  pntrlog2bndlem4  25169  pntrlog2bndlem6a  25171  pntpbnd1  25175  pntpbnd2  25176  pntlemg  25187  pntlemj  25192  pntlemf  25194  ostth2lem2  25223  ostth2lem3  25224  minvecolem3  27578  minvecolem4  27582  itg2addnclem2  33091  irrapxlem4  36866  irrapxlem5  36867  recnnltrp  39054  rpgtrecnn  39058  ioodvbdlimc1lem2  39450  ioodvbdlimc2lem  39452  fourierdlem47  39674  vonioolem1  40198  fllog2  41651  blennnelnn  41659  dignnld  41686  dignn0flhalf  41701