Theorem flge0nn0 12786

Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge0nn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 12761	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 472	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0z 11551	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		flge 12771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 709	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 502	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnn0z 11553	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 701	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2127   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  ℝcr 10098  0cc0 10099   ≤ cle 10238  ℕ₀cn0 11455  ℤcz 11540  ⌊cfl 12756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fl 12758

This theorem is referenced by:  fldivnn0  12788  expnbnd  13158  facavg  13253  o1fsum  14715  efcllem  14978  odzdvds  15673  prmreclem3  15795  1arith  15804  odmodnn0  18130  lebnumii  22937  lmnn  23232  vitalilem4  23550  mbfi1fseqlem1  23652  mbfi1fseqlem3  23654  mbfi1fseqlem5  23656  harmoniclbnd  24905  harmonicbnd4  24907  fsumharmonic  24908  ppiltx  25073  logfac2  25112  chpval2  25113  chpchtsum  25114  chpub  25115  logfaclbnd  25117  logfacbnd3  25118  logfacrlim  25119  bposlem1  25179  gausslemma2dlem0d  25254  lgsquadlem2  25276  chtppilimlem1  25332  vmadivsum  25341  rpvmasumlem  25346  dchrisumlema  25347  dchrisumlem1  25348  dchrisum0lem1b  25374  dchrisum0lem1  25375  dchrisum0lem2a  25376  dchrisum0lem3  25378  mudivsum  25389  mulogsumlem  25390  selberglem2  25405  selberg2lem  25409  pntrsumo1  25424  pntrlog2bndlem2  25437  pntrlog2bndlem4  25439  pntrlog2bndlem6a  25441  pntpbnd1  25445  pntpbnd2  25446  pntlemg  25457  pntlemj  25462  pntlemf  25464  ostth2lem2  25493  ostth2lem3  25494  minvecolem3  28012  minvecolem4  28016  itg2addnclem2  33744  irrapxlem4  37860  irrapxlem5  37861  recnnltrp  40060  rpgtrecnn  40064  ioodvbdlimc1lem2  40619  ioodvbdlimc2lem  40621  fourierdlem47  40842  vonioolem1  41369  fllog2  42841  blennnelnn  42849  dignnld  42876  dignn0flhalf  42891