MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flhalf 12825
Description: Ordering relation for the floor of half of an integer. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
flhalf (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))

Proof of Theorem flhalf
StepHypRef Expression
1 zre 11573 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 peano2re 10401 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
43rehalfcld 11471 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
5 flltp1 12795 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
74flcld 12793 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
87zred 11674 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℝ)
9 1red 10247 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
108, 9readdcld 10261 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
11 2rp 12030 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
133, 10, 12ltdivmuld 12116 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))))
146, 13mpbid 222 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)))
159recnd 10260 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
16152timesd 11467 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 1) = (1 + 1))
1716oveq2d 6829 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
18 2cnd 11285 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
198recnd 10260 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℂ)
2018, 19, 15adddid 10256 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)))
21 2re 11282 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
2322, 8remulcld 10262 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℝ)
2423recnd 10260 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℂ)
2524, 15, 15addassd 10254 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
2617, 20, 253eqtr4d 2804 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
2714, 26breqtrd 4830 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
2823, 9readdcld 10261 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
291, 28, 9ltadd1d 10812 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1)))
3027, 29mpbird 247 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1))
31 2z 11601 . . . . 5 2 ∈ ℤ
3231a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3332, 7zmulcld 11680 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ)
34 zleltp1 11620 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
3533, 34mpdan 705 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
3630, 35mpbird 247 1 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267   / cdiv 10876  2c2 11262  cz 11569  +crp 12025  cfl 12785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fl 12787
This theorem is referenced by:  ovolunlem1a  23464
  Copyright terms: Public domain W3C validator