MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flhalf 12571
Description: Ordering relation for the floor of half of an integer. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
flhalf (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))

Proof of Theorem flhalf
StepHypRef Expression
1 zre 11325 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 peano2re 10153 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
43rehalfcld 11223 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
5 flltp1 12541 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
74flcld 12539 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
87zred 11426 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℝ)
9 1red 9999 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
108, 9readdcld 10013 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
11 2rp 11781 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
133, 10, 12ltdivmuld 11867 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))))
146, 13mpbid 222 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)))
159recnd 10012 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
16152timesd 11219 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 1) = (1 + 1))
1716oveq2d 6620 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
18 2cnd 11037 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
198recnd 10012 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℂ)
2018, 19, 15adddid 10008 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)))
21 2re 11034 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
2322, 8remulcld 10014 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℝ)
2423recnd 10012 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℂ)
2524, 15, 15addassd 10006 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
2617, 20, 253eqtr4d 2665 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
2714, 26breqtrd 4639 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
2823, 9readdcld 10013 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
291, 28, 9ltadd1d 10564 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1)))
3027, 29mpbird 247 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1))
31 2z 11353 . . . . 5 2 ∈ ℤ
3231a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3332, 7zmulcld 11432 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ)
34 zleltp1 11372 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
3533, 34mpdan 701 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
3630, 35mpbird 247 1 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019   / cdiv 10628  2c2 11014  cz 11321  +crp 11776  cfl 12531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533
This theorem is referenced by:  ovolunlem1a  23171
  Copyright terms: Public domain W3C validator