Theorem flimcls 22595

Description: Closure in terms of filter convergence. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
flimcls	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐽   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋

Proof of Theorem flimcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))
2	1	flimclslem 22594	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))))
3		3anass 1091	. . . . 5 ⊢ (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))) ↔ ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
4	2, 3	sylib 220	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
5		eleq2 2903	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝑆 ∈ 𝑓 ↔ 𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))
6		oveq2 7166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝐽 fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))
7	6	eleq2d 2900	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))))))
8	5, 7	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) → ((𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))))
9	8	rspcev 3625	. . . 4 ⊢ (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆 ∈ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆}))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝐴}) ∪ {𝑆})))))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
11	10	3expia 1117	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
12		flimclsi 22588	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑓 → (𝐽 fLim 𝑓) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
13	12	sselda 3969	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
14	13	rexlimivw 3284	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
15	11, 14	impbid1 227	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑆 ∈ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141   ∪ cun 3936   ⊆ wss 3938  {csn 4569  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ficfi 8876  filGencfg 20536  TopOnctopon 21520  clsccl 21628  neicnei 21707  Filcfil 22455   fLim cflim 22544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-fin 8515  df-fi 8877  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-top 21504  df-topon 21521  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-fil 22456  df-flim 22549

This theorem is referenced by:  metsscmetcld  23920