Theorem flle 13172

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 497	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℝcr 10539  1c1 10541   + caddc 10543   < clt 10678   ≤ cle 10679  ⌊cfl 13163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fl 13165

This theorem is referenced by:  fracge0  13177  flge  13178  flflp1  13180  flid  13181  flwordi  13185  flval2  13187  flval3  13188  fladdz  13198  flmulnn0  13200  fldiv4p1lem1div2  13208  fldiv4lem1div2uz2  13209  ceige  13216  flleceil  13224  fleqceilz  13225  quoremz  13226  quoremnn0ALT  13228  facavg  13664  rddif  14703  o1fsum  15171  flo1  15212  bitscmp  15790  isprm7  16055  prmreclem4  16258  zcld  23424  mbfi1fseqlem5  24323  mbfi1fseqlem6  24324  dvfsumlem1  24626  dvfsumlem2  24627  dvfsumlem3  24628  harmonicubnd  25590  harmonicbnd4  25591  ppisval  25684  ppiltx  25757  ppiub  25783  chtub  25791  chpub  25799  logfacubnd  25800  logfaclbnd  25801  bposlem1  25863  bposlem5  25867  bposlem6  25868  lgsquadlem1  25959  chebbnd1lem3  26050  vmadivsum  26061  dchrisumlem1  26068  dchrmusum2  26073  dchrisum0lem2a  26096  mudivsum  26109  mulogsumlem  26110  selberglem2  26125  selberg2lem  26129  pntrlog2bndlem4  26159  pntpbnd2  26166  pntlemg  26177  pntlemr  26181  pntlemk  26185  ostth2lem3  26214  dnibndlem4  33824  dnibndlem10  33830  knoppndvlem19  33873  ltflcei  34884  itg2addnclem3  34949  irrapxlem1  39425  hashnzfzclim  40660  fourierdlem4  42403  fourierdlem65  42463  fllogbd  44627  logbpw2m1  44634  fllog2  44635  nnpw2blen  44647  dignn0flhalflem2  44683