MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flodddiv4t2lthalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flodddiv4t2lthalf 14924
Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4t2lthalf ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf
StepHypRef Expression
1 flodddiv4lt 14923 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4))
2 zre 11214 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 4re 10944 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
5 4ne0 10964 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ≠ 0)
72, 4, 6redivcld 10702 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
87flcld 12416 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
98zred 11314 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
109adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
117adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
12 2re 10937 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
13 2pos 10959 . . . . . 6 0 < 2
1412, 13pm3.2i 469 . . . . 5 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
1514a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
16 ltmul1 10722 . . . 4 (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
1710, 11, 15, 16syl3anc 1317 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
181, 17mpbid 220 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2))
19 zcn 11215 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2019halfcld 11124 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
21 2cnd 10940 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
22 2ne0 10960 . . . . . 6 2 ≠ 0
2322a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
2420, 21, 23divcan1d 10651 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = (𝑁 / 2))
25 2cnne0 11089 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
2625a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
27 divdiv1 10585 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
2819, 26, 26, 27syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
29 2t2e4 11024 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
3029a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
3130oveq2d 6543 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4))
3228, 31eqtrd 2643 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
3332oveq1d 6542 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3424, 33eqtr3d 2645 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3534adantr 479 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3618, 35breqtrrd 4605 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792   · cmul 9797   < clt 9930   / cdiv 10533  2c2 10917  4c4 10919  cz 11210  cfl 12408  cdvds 14767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fl 12410  df-dvds 14768
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0e  24802
  Copyright terms: Public domain W3C validator