Theorem flpmodeq 12867

Description: Partition of a division into its integer part and the remainder. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
flpmodeq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem flpmodeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modvalr 12865	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵)))
2	1	eqcomd 2766	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵)) = (𝐴 mod 𝐵))
3		recn 10218	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 472	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		rerpdivcl 12054	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6		flcl 12790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 11675	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
9		rpcn 12034	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 10252	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) ∈ ℂ)
12		modcl 12866	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℂ)
14	4, 11, 13	subaddd 10602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵)) = (𝐴 mod 𝐵) ↔ (((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) = 𝐴))
15	2, 14	mpbid 222	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127   + caddc 10131   · cmul 10133   − cmin 10458   / cdiv 10876  ℝ⁺crp 12025  ⌊cfl 12785   mod cmo 12862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fl 12787  df-mod 12863

This theorem is referenced by:  modmuladd  12906  fldivmod  42823  modn0mul  42825