MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmfnfmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmfnfmlem1 21681
Description: Lemma for fmfnfm 21685. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b (𝜑𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
fmfnfm.l (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
fmfnfm.f (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
fmfnfm.fm (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem1 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐵   𝐹,𝑠,𝑡   𝐿,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡   𝑌,𝑠,𝑡

Proof of Theorem fmfnfmlem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
2 fbssfi 21564 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑤𝐵 𝑤𝑠)
31, 2sylan 488 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑤𝐵 𝑤𝑠)
4 sstr2 3594 . . . . . 6 ((𝐹𝑤) ⊆ (𝐹𝑠) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡))
5 imass2 5465 . . . . . 6 (𝑤𝑠 → (𝐹𝑤) ⊆ (𝐹𝑠))
64, 5syl11 33 . . . . 5 ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑤𝑠 → (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡))
76reximdv 3011 . . . 4 ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (∃𝑤𝐵 𝑤𝑠 → ∃𝑤𝐵 (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡))
83, 7syl5com 31 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → ∃𝑤𝐵 (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡))
9 fmfnfm.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
10 filtop 21582 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐿)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐿)
12 fmfnfm.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
13 elfm 21674 . . . . . . 7 ((𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑤𝐵 (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡)))
1411, 1, 12, 13syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑤𝐵 (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡)))
15 fmfnfm.fm . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
1615sseld 3586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) → 𝑡𝐿))
1714, 16sylbird 250 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑡𝑋 ∧ ∃𝑤𝐵 (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡) → 𝑡𝐿))
1817expcomd 454 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑤𝐵 (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
1918adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → (∃𝑤𝐵 (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
208, 19syld 47 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
2120ex 450 1 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  wrex 2908  wss 3559  cima 5082  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  ficfi 8268  fBascfbas 19666  Filcfil 21572   FilMap cfm 21660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-fin 7911  df-fi 8269  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-fil 21573  df-fm 21665
This theorem is referenced by:  fmfnfmlem4  21684
  Copyright terms: Public domain W3C validator