Theorem fmpt3d 6874

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 6873	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6493	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ↦ cmpt 5138  ⟶wf 6345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357

This theorem is referenced by:  fmptco  6885  off  7418  caofinvl  7430  curry1f  7795  curry2f  7797  fseqenlem1  9444  pfxf  14036  rpnnen2lem2  15562  1arithlem3  16255  homaf  17284  funcestrcsetclem3  17386  funcsetcestrclem3  17400  prfcl  17447  curf1cl  17472  yonedainv  17525  vrmdf  18017  pmtrf  18577  psgnunilem5  18616  pj1f  18817  vrgpf  18888  gsummptfsadd  19038  gsummptfssub  19063  lspf  19740  subrgpsr  20193  mvrf  20198  uvcff  20929  cpm2mf  21354  nmf2  23196  nmof  23322  cphnmf  23793  rrxcph  23989  uniioombllem2  24178  mbfi1fseqlem3  24312  itg2cnlem1  24356  dvmptco  24563  dvle  24598  taylpf  24948  ulmshftlem  24971  ulmshft  24972  ulmdvlem1  24982  psergf  24994  pserdvlem2  25010  logbf  25361  lmif  26565  vtxdgf  27247  brafn  29718  kbop  29724  off2  30382  ofoprabco  30403  tocycf  30754  sgnsf  30799  qqhf  31222  indf  31269  esumcocn  31334  ofcf  31357  mbfmcst  31512  dstrvprob  31724  dstfrvclim1  31730  signstf  31831  fsovfd  40351  dssmapnvod  40359  binomcxplemnotnn0  40681  sge0seq  42722  hoicvrrex  42832