Theorem fmtno 41836

Description: The 𝑁 th Fermat number. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))

Proof of Theorem fmtno

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fmtno 41835	. . 3 ⊢ FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1)))
3		oveq2 6741	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2↑𝑛) = (2↑𝑁))
4	3	oveq2d 6749	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑁)))
5	4	oveq1d 6748	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
6	5	adantl 473	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
7		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		ovexd 6763	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ V)
9	2, 6, 7, 8	fvmptd 6370	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1564   ∈ wcel 2071  Vcvv 3272   ↦ cmpt 4805  ‘cfv 5969  (class class class)co 6733  1c1 10018   + caddc 10020  2c2 11151  ℕ₀cn0 11373  ↑cexp 12943  FermatNocfmtno 41834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pr 4979

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ral 2987  df-rex 2988  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-nul 3992  df-if 4163  df-sn 4254  df-pr 4256  df-op 4260  df-uni 4513  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-id 5096  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fv 5977  df-ov 6736  df-fmtno 41835

This theorem is referenced by:  fmtnoge3  41837  fmtnom1nn  41839  fmtnoodd  41840  fmtnof1  41842  fmtnorec1  41844  fmtnosqrt  41846  fmtno0  41847  fmtno1  41848  fmtnorec2lem  41849  fmtnorec3  41855  fmtnorec4  41856  fmtno2  41857  fmtno3  41858  fmtno4  41859  fmtnoprmfac1lem  41871  fmtno4prm  41882  2pwp1prmfmtno  41899