Theorem fmtno 40728

Description: The 𝑁 th Fermat number. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))

Proof of Theorem fmtno

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fmtno 40727	. . 3 ⊢ FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1)))
3		oveq2 6613	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2↑𝑛) = (2↑𝑁))
4	3	oveq2d 6621	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑁)))
5	4	oveq1d 6620	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
6	5	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
7		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		ovex 6633	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ V)
10	2, 6, 7, 9	fvmptd 6246	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191   ↦ cmpt 4678  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882   + caddc 9884  2c2 11015  ℕ₀cn0 11237  ↑cexp 12797  FermatNocfmtno 40726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fv 5858  df-ov 6608  df-fmtno 40727

This theorem is referenced by:  fmtnoge3  40729  fmtnom1nn  40731  fmtnoodd  40732  fmtnof1  40734  fmtnorec1  40736  fmtnosqrt  40738  fmtno0  40739  fmtno1  40740  fmtnorec2lem  40741  fmtnorec3  40747  fmtnorec4  40748  fmtno2  40749  fmtno3  40750  fmtno4  40751  fmtnoprmfac1lem  40763  fmtno4prm  40774  2pwp1prmfmtno  40791