Theorem fmtno3 39799

Description: The 3 rd Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno3	⊢ (FermatNo‘3) = ;;257

Proof of Theorem fmtno3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 11157	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		fmtno 39777	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘3) = ((2↑(2↑3)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (FermatNo‘3) = ((2↑(2↑3)) + 1)
4		cu2 12780	. . . . 5 ⊢ (2↑3) = 8
5	4	oveq2i 6538	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑3)) = (2↑8)
6	5	oveq1i 6537	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑3)) + 1) = ((2↑8) + 1)
7		2exp8 15580	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
8	7	oveq1i 6537	. . 3 ⊢ ((2↑8) + 1) = (;;256 + 1)
9		2nn0 11156	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		5nn0 11159	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 11344	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
12		6nn0 11160	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		6p1e7 11003	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
14		eqid 2609	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
15	11, 12, 13, 14	decsuc 11367	. . 3 ⊢ (;;256 + 1) = ;;257
16	6, 8, 15	3eqtri 2635	. 2 ⊢ ((2↑(2↑3)) + 1) = ;;257
17	3, 16	eqtri 2631	1 ⊢ (FermatNo‘3) = ;;257

Syntax hints:   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  1c1 9793   + caddc 9795  2c2 10917  3c3 10918  5c5 10920  6c6 10921  7c7 10922  8c8 10923  ℕ₀cn0 11139  ;cdc 11325  ↑cexp 12677  FermatNocfmtno 39775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fmtno 39776

This theorem is referenced by:  fmtno3prm  39810