Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno5 40794
Description: The 5 th Fermat number. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno5 (FermatNo‘5) = 4294967297

Proof of Theorem fmtno5
StepHypRef Expression
1 df-5 11034 . . . 4 5 = (4 + 1)
21fveq2i 6156 . . 3 (FermatNo‘5) = (FermatNo‘(4 + 1))
3 4nn0 11263 . . . 4 4 ∈ ℕ0
4 fmtnorec1 40774 . . . 4 (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
62, 5eqtri 2643 . 2 (FermatNo‘5) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
7 2nn0 11261 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
83, 7deccl 11464 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ0
9 9nn0 11268 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
108, 9deccl 11464 . . . . . . . . 9 429 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 11464 . . . . . . . 8 4294 ∈ ℕ0
1211, 9deccl 11464 . . . . . . 7 42949 ∈ ℕ0
13 6nn0 11265 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 11464 . . . . . 6 429496 ∈ ℕ0
15 7nn0 11266 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 11464 . . . . 5 4294967 ∈ ℕ0
1716, 7deccl 11464 . . . 4 42949672 ∈ ℕ0
1817, 9deccl 11464 . . 3 429496729 ∈ ℕ0
19 6p1e7 11108 . . 3 (6 + 1) = 7
20 5nn0 11264 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
2113, 20deccl 11464 . . . . . . . 8 65 ∈ ℕ0
2221, 20deccl 11464 . . . . . . 7 655 ∈ ℕ0
23 3nn0 11262 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2422, 23deccl 11464 . . . . . 6 6553 ∈ ℕ0
25 1nn0 11260 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
26 fmtno4 40789 . . . . . 6 (FermatNo‘4) = 65537
27 3p1e4 11105 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
28 eqid 2621 . . . . . . 7 6553 = 6553
2922, 23, 27, 28decsuc 11487 . . . . . 6 (6553 + 1) = 6554
30 6cn 11054 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
31 ax-1cn 9946 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
32 df-7 11036 . . . . . . 7 7 = (6 + 1)
3330, 31, 32mvrraddi 10250 . . . . . 6 (7 − 1) = 6
3424, 15, 25, 26, 29, 33decsubi 11535 . . . . 5 ((FermatNo‘4) − 1) = 65536
3534oveq1i 6620 . . . 4 (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = (65536↑2)
36 fmtno5lem4 40793 . . . 4 (65536↑2) = 4294967296
3735, 36eqtri 2643 . . 3 (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = 4294967296
3818, 13, 19, 37decsuc 11487 . 2 ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1) = 4294967297
396, 38eqtri 2643 1 (FermatNo‘5) = 4294967297
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5852  (class class class)co 6610  1c1 9889   + caddc 9891  cmin 10218  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  5c5 11025  6c6 11026  7c7 11027  9c9 11029  0cn0 11244  cdc 11445  cexp 12808  FermatNocfmtno 40764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fmtno 40765
This theorem is referenced by:  fmtno5fac  40819
  Copyright terms: Public domain W3C validator