Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno5fac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno5fac 41921
 Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno5fac (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)

Proof of Theorem fmtno5fac
StepHypRef Expression
1 4nn0 11424 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
2 2nn0 11422 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11625 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ0
4 8nn0 11428 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
53, 4deccl 11625 . . . . . . . . 9 428 ∈ ℕ0
65, 4deccl 11625 . . . . . . . 8 4288 ∈ ℕ0
76, 2deccl 11625 . . . . . . 7 42882 ∈ ℕ0
8 6nn0 11426 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
97, 8deccl 11625 . . . . . 6 428826 ∈ ℕ0
109, 8deccl 11625 . . . . 5 4288266 ∈ ℕ0
1110, 4deccl 11625 . . . 4 42882668 ∈ ℕ0
1211, 4deccl 11625 . . 3 428826688 ∈ ℕ0
13 0nn0 11420 . . 3 0 ∈ ℕ0
14 7nn0 11427 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
158, 14deccl 11625 . . . . . . 7 67 ∈ ℕ0
1615, 13deccl 11625 . . . . . 6 670 ∈ ℕ0
1716, 13deccl 11625 . . . . 5 6700 ∈ ℕ0
1817, 1deccl 11625 . . . 4 67004 ∈ ℕ0
19 1nn0 11421 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2018, 19deccl 11625 . . 3 670041 ∈ ℕ0
21 fmtno5faclem3 41920 . . . 4 (402025020 + 26801668) = 428826688
2221deceq1i 11617 . . 3 (402025020 + 26801668)0 = 4288266880
23 eqid 2724 . . 3 6700417 = 6700417
24 eqid 2724 . . . 4 428826688 = 428826688
25 eqid 2724 . . . 4 670041 = 670041
26 eqid 2724 . . . . 5 42882668 = 42882668
27 eqid 2724 . . . . 5 67004 = 67004
28 9nn0 11429 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
293, 28deccl 11625 . . . . . . . . 9 429 ∈ ℕ0
3029, 1deccl 11625 . . . . . . . 8 4294 ∈ ℕ0
3130, 28deccl 11625 . . . . . . 7 42949 ∈ ℕ0
3231, 8deccl 11625 . . . . . 6 429496 ∈ ℕ0
33 6p1e7 11269 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
34 eqid 2724 . . . . . . 7 4288266 = 4288266
35 eqid 2724 . . . . . . 7 6700 = 6700
36 eqid 2724 . . . . . . . 8 428826 = 428826
37 eqid 2724 . . . . . . . 8 670 = 670
38 eqid 2724 . . . . . . . . 9 42882 = 42882
39 eqid 2724 . . . . . . . . 9 67 = 67
40 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 4288 = 4288
41 8p1e9 11271 . . . . . . . . . . 11 (8 + 1) = 9
42 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 428 = 428
433, 4, 41, 42decsuc 11648 . . . . . . . . . 10 (428 + 1) = 429
44 8p6e14 11729 . . . . . . . . . 10 (8 + 6) = 14
455, 4, 8, 40, 43, 1, 44decaddci 11693 . . . . . . . . 9 (4288 + 6) = 4294
46 7cn 11217 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
47 2cn 11204 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
48 7p2e9 11285 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
4946, 47, 48addcomli 10341 . . . . . . . . 9 (2 + 7) = 9
506, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49decadd 11683 . . . . . . . 8 (42882 + 67) = 42949
51 6cn 11215 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
5251addid1i 10336 . . . . . . . 8 (6 + 0) = 6
537, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52decadd 11683 . . . . . . 7 (428826 + 670) = 429496
549, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52decadd 11683 . . . . . 6 (4288266 + 6700) = 4294966
5532, 8, 33, 54decsuc 11648 . . . . 5 ((4288266 + 6700) + 1) = 4294967
56 8p4e12 11727 . . . . 5 (8 + 4) = 12
5710, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56decaddc 11685 . . . 4 (42882668 + 67004) = 42949672
5811, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41decadd 11683 . . 3 (428826688 + 670041) = 429496729
5946addid2i 10337 . . 3 (0 + 7) = 7
6012, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59decadd 11683 . 2 ((402025020 + 26801668)0 + 6700417) = 4294967297
618, 1deccl 11625 . . 3 64 ∈ ℕ0
6220, 14deccl 11625 . . 3 6700417 ∈ ℕ0
63 fmtno5faclem2 41919 . . . . . 6 (6700417 · 6) = 40202502
6463eqcomi 2733 . . . . 5 40202502 = (6700417 · 6)
65 fmtno5faclem1 41918 . . . . . 6 (6700417 · 4) = 26801668
6665eqcomi 2733 . . . . 5 26801668 = (6700417 · 4)
678, 1, 62, 64, 66decmul10add 11706 . . . 4 (6700417 · 64) = (402025020 + 26801668)
6867eqcomi 2733 . . 3 (402025020 + 26801668) = (6700417 · 64)
6962nn0cni 11417 . . . . 5 6700417 ∈ ℂ
7069mulid1i 10155 . . . 4 (6700417 · 1) = 6700417
7170eqcomi 2733 . . 3 6700417 = (6700417 · 1)
7261, 19, 62, 68, 71decmul10add 11706 . 2 (6700417 · 641) = ((402025020 + 26801668)0 + 6700417)
73 fmtno5 41896 . 2 (FermatNo‘5) = 4294967297
7460, 72, 733eqtr4ri 2757 1 (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1596  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  2c2 11183  4c4 11185  5c5 11186  6c6 11187  7c7 11188  8c8 11189  9c9 11190  ;cdc 11606  FermatNocfmtno 41866 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fmtno 41867 This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  41922
 Copyright terms: Public domain W3C validator