Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno5fac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno5fac 40790
Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno5fac (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)

Proof of Theorem fmtno5fac
StepHypRef Expression
1 4nn0 11255 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
2 2nn0 11253 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11456 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ0
4 8nn0 11259 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
53, 4deccl 11456 . . . . . . . . 9 428 ∈ ℕ0
65, 4deccl 11456 . . . . . . . 8 4288 ∈ ℕ0
76, 2deccl 11456 . . . . . . 7 42882 ∈ ℕ0
8 6nn0 11257 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
97, 8deccl 11456 . . . . . 6 428826 ∈ ℕ0
109, 8deccl 11456 . . . . 5 4288266 ∈ ℕ0
1110, 4deccl 11456 . . . 4 42882668 ∈ ℕ0
1211, 4deccl 11456 . . 3 428826688 ∈ ℕ0
13 0nn0 11251 . . 3 0 ∈ ℕ0
14 7nn0 11258 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
158, 14deccl 11456 . . . . . . 7 67 ∈ ℕ0
1615, 13deccl 11456 . . . . . 6 670 ∈ ℕ0
1716, 13deccl 11456 . . . . 5 6700 ∈ ℕ0
1817, 1deccl 11456 . . . 4 67004 ∈ ℕ0
19 1nn0 11252 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2018, 19deccl 11456 . . 3 670041 ∈ ℕ0
21 fmtno5faclem3 40789 . . . 4 (402025020 + 26801668) = 428826688
2221deceq1i 11448 . . 3 (402025020 + 26801668)0 = 4288266880
23 eqid 2621 . . 3 6700417 = 6700417
24 eqid 2621 . . . 4 428826688 = 428826688
25 eqid 2621 . . . 4 670041 = 670041
26 eqid 2621 . . . . 5 42882668 = 42882668
27 eqid 2621 . . . . 5 67004 = 67004
28 9nn0 11260 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
293, 28deccl 11456 . . . . . . . . 9 429 ∈ ℕ0
3029, 1deccl 11456 . . . . . . . 8 4294 ∈ ℕ0
3130, 28deccl 11456 . . . . . . 7 42949 ∈ ℕ0
3231, 8deccl 11456 . . . . . 6 429496 ∈ ℕ0
33 6p1e7 11100 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
34 eqid 2621 . . . . . . 7 4288266 = 4288266
35 eqid 2621 . . . . . . 7 6700 = 6700
36 eqid 2621 . . . . . . . 8 428826 = 428826
37 eqid 2621 . . . . . . . 8 670 = 670
38 eqid 2621 . . . . . . . . 9 42882 = 42882
39 eqid 2621 . . . . . . . . 9 67 = 67
40 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 4288 = 4288
41 8p1e9 11102 . . . . . . . . . . 11 (8 + 1) = 9
42 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 428 = 428
433, 4, 41, 42decsuc 11479 . . . . . . . . . 10 (428 + 1) = 429
44 8p6e14 11560 . . . . . . . . . 10 (8 + 6) = 14
455, 4, 8, 40, 43, 1, 44decaddci 11524 . . . . . . . . 9 (4288 + 6) = 4294
46 7cn 11048 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
47 2cn 11035 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
48 7p2e9 11116 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
4946, 47, 48addcomli 10172 . . . . . . . . 9 (2 + 7) = 9
506, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49decadd 11514 . . . . . . . 8 (42882 + 67) = 42949
51 6cn 11046 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
5251addid1i 10167 . . . . . . . 8 (6 + 0) = 6
537, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52decadd 11514 . . . . . . 7 (428826 + 670) = 429496
549, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52decadd 11514 . . . . . 6 (4288266 + 6700) = 4294966
5532, 8, 33, 54decsuc 11479 . . . . 5 ((4288266 + 6700) + 1) = 4294967
56 8p4e12 11558 . . . . 5 (8 + 4) = 12
5710, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56decaddc 11516 . . . 4 (42882668 + 67004) = 42949672
5811, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41decadd 11514 . . 3 (428826688 + 670041) = 429496729
5946addid2i 10168 . . 3 (0 + 7) = 7
6012, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59decadd 11514 . 2 ((402025020 + 26801668)0 + 6700417) = 4294967297
618, 1deccl 11456 . . 3 64 ∈ ℕ0
6220, 14deccl 11456 . . 3 6700417 ∈ ℕ0
63 fmtno5faclem2 40788 . . . . . 6 (6700417 · 6) = 40202502
6463eqcomi 2630 . . . . 5 40202502 = (6700417 · 6)
65 fmtno5faclem1 40787 . . . . . 6 (6700417 · 4) = 26801668
6665eqcomi 2630 . . . . 5 26801668 = (6700417 · 4)
678, 1, 62, 64, 66decmul10add 11537 . . . 4 (6700417 · 64) = (402025020 + 26801668)
6867eqcomi 2630 . . 3 (402025020 + 26801668) = (6700417 · 64)
6962nn0cni 11248 . . . . 5 6700417 ∈ ℂ
7069mulid1i 9986 . . . 4 (6700417 · 1) = 6700417
7170eqcomi 2630 . . 3 6700417 = (6700417 · 1)
7261, 19, 62, 68, 71decmul10add 11537 . 2 (6700417 · 641) = ((402025020 + 26801668)0 + 6700417)
73 fmtno5 40765 . 2 (FermatNo‘5) = 4294967297
7460, 72, 733eqtr4ri 2654 1 (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  2c2 11014  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  7c7 11019  8c8 11020  9c9 11021  cdc 11437  FermatNocfmtno 40735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fmtno 40736
This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  40791
  Copyright terms: Public domain W3C validator