Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnodvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnodvds 41781
Description: Any Fermat number divides a greater Fermat number minus 2. Corrolary of fmtnorec2 41780, see ProofWiki "Product of Sequence of Fermat Numbers plus 2/Corollary", 31-Jul-2021. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnodvds ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2))

Proof of Theorem fmtnodvds
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0nnaddcl 11362 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 11372 . . . . 5 ((𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
5 1red 10093 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
6 nnre 11065 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 nn0re 11339 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
10 nnge1 11084 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
1110adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑀)
125, 7, 9, 11leadd2dd 10680 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀))
13 readdcl 10057 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
148, 6, 13syl2an 493 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
15 leaddsub 10542 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
169, 5, 14, 15syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
1712, 16mpbid 222 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1))
18 elfz2nn0 12469 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
191, 4, 17, 18syl3anbrc 1265 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)))
20 fzfid 12812 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ∈ Fin)
21 fz0ssnn0 12473 . . . . 5 (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ⊆ ℕ0
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ⊆ ℕ0)
23 2nn0 11347 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
2624, 25nn0expcld 13071 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
2724, 26nn0expcld 13071 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11518 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℤ)
2928peano2zd 11523 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
3029adantl 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
31 df-fmtno 41765 . . . . 5 FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
3230, 31fmptd 6425 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → FermatNo:ℕ0⟶ℤ)
3320, 22, 32fprodfvdvdsd 15105 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
34 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑁))
3534breq1d 4695 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) ↔ (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘)))
3635rspcv 3336 . . 3 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) → (∀𝑛 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘)))
3719, 33, 36sylc 65 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
38 elfznn0 12471 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3938adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40 fmtnonn 41768 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℕ)
4139, 40syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℕ)
4241nncnd 11074 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℂ)
4320, 42fprodcl 14726 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) ∈ ℂ)
44 2cnd 11131 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
45 nn0cn 11340 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
46 nncn 11066 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
47 addcl 10056 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ)
4845, 46, 47syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ)
49 npcan1 10493 . . . . . . 7 ((𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ → (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5048, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5150eqcomd 2657 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) = (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1))
5251fveq2d 6233 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) = (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)))
53 fmtnorec2 41780 . . . . 5 (((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
544, 53syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
5552, 54eqtrd 2685 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
5643, 44, 55mvrraddd 10483 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
5737, 56breqtrrd 4713 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  cexp 12900  cprod 14679  cdvds 15027  FermatNocfmtno 41764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680  df-dvds 15028  df-fmtno 41765
This theorem is referenced by:  goldbachthlem1  41782
  Copyright terms: Public domain W3C validator