Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnofac2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnofac2 40810
Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result refined by François Édouard Anatole Lucas), see fmtnofac1 40811: Let Fn be a Fermat number. Let m be divisor of Fn. Then m is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnofac2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4626 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
21anbi2d 739 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
3 eqeq1 2625 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
43rexbidv 3047 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
52, 4imbi12d 334 . . . 4 (𝑥 = 1 → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
6 breq1 4626 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
76anbi2d 739 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
8 eqeq1 2625 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
98rexbidv 3047 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
107, 9imbi12d 334 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
11 breq1 4626 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
1211anbi2d 739 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
13 eqeq1 2625 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1413rexbidv 3047 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1512, 14imbi12d 334 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
16 breq1 4626 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
1716anbi2d 739 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁))))
18 eqeq1 2625 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1918rexbidv 3047 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2017, 19imbi12d 334 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
21 breq1 4626 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
2221anbi2d 739 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
23 eqeq1 2625 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2423rexbidv 3047 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2522, 24imbi12d 334 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
26 0nn0 11267 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 ∈ ℕ0)
28 oveq1 6622 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (0 · (2↑(𝑁 + 2))))
2928oveq1d 6630 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
3029eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
3130adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑘 = 0) → (1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
32 2nn0 11269 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
34 eluzge2nn0 11687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3534, 33nn0addcld 11315 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
3633, 35nn0expcld 12987 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ0)
3736nn0cnd 11313 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
3837mul02d 10194 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0 · (2↑(𝑁 + 2))) = 0)
3938oveq1d 6630 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (0 + 1))
40 0p1e1 11092 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
4139, 40syl6req 2672 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4227, 31, 41rspcedvd 3306 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4342adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
44 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
4544adantl 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
46 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℙ)
47 simprr 795 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))
48 nnssnn0 11255 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℕ0
49 fmtnoprmfac2 40808 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
50 ssrexv 3652 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
5148, 49, 50mpsyl 68 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
5245, 46, 47, 51syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
5352ex 450 . . . 4 (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
54 fmtnofac2lem 40809 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
555, 10, 15, 20, 25, 43, 53, 54prmind 15342 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
5655expd 452 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
57563imp21 1274 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2909  wss 3560   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  cn 10980  2c2 11030  0cn0 11252  cuz 11647  cexp 12816  cdvds 14926  cprime 15328  FermatNocfmtno 40768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-prod 14580  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-prm 15329  df-odz 15413  df-phi 15414  df-pc 15485  df-lgs 24954  df-fmtno 40769
This theorem is referenced by:  fmtnofac1  40811
  Copyright terms: Public domain W3C validator