Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoge3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoge3 41213
 Description: Each Fermat number is greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoge3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))

Proof of Theorem fmtnoge3
StepHypRef Expression
1 fmtno 41212 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2 3z 11407 . . . 4 3 ∈ ℤ
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℤ)
4 2nn0 11306 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
75, 6nn0expcld 13026 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
85, 7nn0expcld 13026 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
9 peano2nn0 11330 . . . . 5 ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
1110nn0zd 11477 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
12 3m1e2 11134 . . . . 5 (3 − 1) = 2
13 2cn 11088 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
14 exp1 12861 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (2↑1) = 2
16 2re 11087 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
18 1le2 11238 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
2017, 6, 19expge1d 13022 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (2↑𝑁))
21 1zzd 11405 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
227nn0zd 11477 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
23 1lt2 11191 . . . . . . . . 9 1 < 2
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
2517, 21, 22, 24leexp2d 13034 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2↑𝑁) ↔ (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁))))
2620, 25mpbid 222 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
2715, 26syl5eqbrr 4687 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
2812, 27syl5eqbr 4686 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
29 3re 11091 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
31 1red 10052 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
328nn0red 11349 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
3330, 31, 32lesubaddd 10621 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)) ↔ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
3428, 33mpbid 222 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
35 eluz2 11690 . . 3 (((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
363, 11, 34, 35syl3anbrc 1245 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ‘3))
371, 36eqeltrd 2700 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   class class class wbr 4651  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  ℂcc 9931  ℝcr 9932  1c1 9934   + caddc 9936   < clt 10071   ≤ cle 10072   − cmin 10263  2c2 11067  3c3 11068  ℕ0cn0 11289  ℤcz 11374  ℤ≥cuz 11684  ↑cexp 12855  FermatNocfmtno 41210 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-seq 12797  df-exp 12856  df-fmtno 41211 This theorem is referenced by:  fmtnonn  41214  prmdvdsfmtnof  41269  prmdvdsfmtnof1  41270
 Copyright terms: Public domain W3C validator