Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoinf 40773
 Description: The set of Fermat numbers is infinite. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoinf ran FermatNo ∉ Fin

Proof of Theorem fmtnoinf
StepHypRef Expression
1 fmtnof1 40772 . . . 4 FermatNo:ℕ01-1→ℕ
2 f1f 6063 . . . 4 (FermatNo:ℕ01-1→ℕ → FermatNo:ℕ0⟶ℕ)
3 fdm 6013 . . . . . 6 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → dom FermatNo = ℕ0)
4 nnssnn0 11247 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℕ0
5 nnnfi 12713 . . . . . . . 8 ¬ ℕ ∈ Fin
6 ssfi 8132 . . . . . . . . . 10 ((ℕ0 ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → ℕ ∈ Fin)
76expcom 451 . . . . . . . . 9 (ℕ ⊆ ℕ0 → (ℕ0 ∈ Fin → ℕ ∈ Fin))
87con3d 148 . . . . . . . 8 (ℕ ⊆ ℕ0 → (¬ ℕ ∈ Fin → ¬ ℕ0 ∈ Fin))
94, 5, 8mp2 9 . . . . . . 7 ¬ ℕ0 ∈ Fin
10 eleq1 2686 . . . . . . 7 (dom FermatNo = ℕ0 → (dom FermatNo ∈ Fin ↔ ℕ0 ∈ Fin))
119, 10mtbiri 317 . . . . . 6 (dom FermatNo = ℕ0 → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
123, 11syl 17 . . . . 5 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
13 ffun 6010 . . . . . 6 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → Fun FermatNo)
14 fundmfibi 8197 . . . . . 6 (Fun FermatNo → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
1612, 15mtbird 315 . . . 4 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ FermatNo ∈ Fin)
171, 2, 16mp2b 10 . . 3 ¬ FermatNo ∈ Fin
18 nn0ex 11250 . . . 4 0 ∈ V
19 f1dmvrnfibi 8202 . . . . 5 ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ01-1→ℕ) → (FermatNo ∈ Fin ↔ ran FermatNo ∈ Fin))
2019notbid 308 . . . 4 ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ01-1→ℕ) → (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin))
2118, 1, 20mp2an 707 . . 3 (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin)
2217, 21mpbi 220 . 2 ¬ ran FermatNo ∈ Fin
2322nelir 2896 1 ran FermatNo ∉ Fin
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∉ wnel 2893  Vcvv 3189   ⊆ wss 3559  dom cdm 5079  ran crn 5080  Fun wfun 5846  ⟶wf 5848  –1-1→wf1 5849  Fincfn 7907  ℕcn 10972  ℕ0cn0 11244  FermatNocfmtno 40764 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fmtno 40765 This theorem is referenced by:  prminf2  40825
 Copyright terms: Public domain W3C validator