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Theorem fmtnoprmfac2lem1 40765
Description: Lemma for fmtnoprmfac2 40766. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac2lem1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem fmtnoprmfac2lem1
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 11670 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 eldifi 3715 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 id 22 . . 3 (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))
4 fmtnoprmfac1 40764 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
51, 2, 3, 4syl3an 1365 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6 2z 11354 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
7 simp2 1060 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
8 lgsvalmod 24936 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
98eqcomd 2632 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
106, 7, 9sylancr 694 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
1110ad2antrr 761 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
12 nncn 10973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
14 2nn 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ)
16 eluzge2nn0 11671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 peano2nn0 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1915, 18nnexpcld 12967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
2019nncnd 10981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
2213, 21mulcomd 10006 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 𝑛))
23 8cn 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 8 ∈ ℂ)
25 0re 9985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
26 8pos 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 8
2725, 26gtneii 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ≠ 0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 8 ≠ 0)
2921, 24, 28divcan2d 10748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) = (2↑(𝑁 + 1)))
3029eqcomd 2632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) = (8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)))
3130oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 𝑛) = ((8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) · 𝑛))
3223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 8 ∈ ℂ)
3327a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 8 ≠ 0)
3420, 32, 33divcld 10746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℂ)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℂ)
3624, 35, 13mulassd 10008 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) · 𝑛) = (8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)))
3722, 31, 363eqtrd 2664 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) = (8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)))
3837oveq1d 6620 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1))
3938eqeq2d 2636 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)))
40 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) → (𝑃 mod 8) = (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8))
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (𝑃 mod 8) = (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8))
42 3m1e2 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (3 − 1) = 2
43 eluzle 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
4442, 43syl5eqbr 4653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (3 − 1) ≤ 𝑁)
45 3re 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 ∈ ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 3 ∈ ℝ)
47 1red 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
48 eluzelre 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
4946, 47, 48lesubaddd 10569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((3 − 1) ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (𝑁 + 1)))
5044, 49mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 3 ≤ (𝑁 + 1))
51 3nn0 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 ∈ ℕ0
52 nn0sub 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (3 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0))
5351, 18, 52sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (3 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0))
5450, 53mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0)
5515, 54nnexpcld 12967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) ∈ ℕ)
5655nnzd 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) ∈ ℤ)
57 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3)) → (8 · 𝑘) = (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))))
5857eqeq1d 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3)) → ((8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3))) → ((8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
60 cu2 12900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑3) = 8
6160eqcomi 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 8 = (2↑3)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 8 = (2↑3))
63 2cnne0 11187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
65 eluzelz 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
6665peano2zd 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
67 3z 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 ∈ ℤ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 3 ∈ ℤ)
69 expsub 12845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
7064, 66, 68, 69syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
7162, 70oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = ((2↑3) · ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))))
72 nnexpcl 12810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℕ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑3) ∈ ℕ)
7314, 51, 72mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑3) ∈ ℕ
7473nncni 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑3) ∈ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑3) ∈ ℂ)
76 2cn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℂ
77 2ne0 11058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ≠ 0
78 expne0i 12829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℤ) → (2↑3) ≠ 0)
7976, 77, 67, 78mp3an 1421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑3) ≠ 0
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑3) ≠ 0)
8120, 75, 80divcan2d 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑3) · ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
8271, 81eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
8356, 59, 82rspcedvd 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)))
84 8nn 11136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 8 ∈ ℕ
85 2nn0 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
8786, 18nn0expcld 12968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
8887nn0zd 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
89 zdiv 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((8 ∈ ℕ ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ))
9084, 88, 89sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ))
9183, 90mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ)
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ)
93 nnz 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
9493adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
9592, 94zmulcld 11432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛) ∈ ℤ)
9684nnzi 11346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℤ
97 2re 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
98 8re 11050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ ℝ
99 2lt8 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 < 8
10097, 98, 99ltleii 10105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ≤ 8
101 eluz2 11637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (8 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 8))
1026, 96, 100, 101mpbir3an 1242 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ (ℤ‘2)
103 mulp1mod1 12648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛) ∈ ℤ ∧ 8 ∈ (ℤ‘2)) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
10495, 102, 103sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
105 1nn 10976 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ
106 prid1g 4270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℕ → 1 ∈ {1, 7})
107105, 106mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ {1, 7})
108104, 107eqeltrd 2704 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
11041, 109eqeltrd 2704 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
111110ex 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
11239, 111sylbid 230 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1131123ad2antl1 1221 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
114113imp 445 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
115 2lgs 25027 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1162, 115syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1171163ad2ant2 1081 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
118117ad2antrr 761 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
119114, 118mpbird 247 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (2 /L 𝑃) = 1)
120119oveq1d 6620 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
121 prmuz2 15327 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
122 eluzelre 11642 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
123 eluz2gt1 11704 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
124122, 123jca 554 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
125121, 124syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
126 1mod 12639 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
1272, 125, 1263syl 18 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 mod 𝑃) = 1)
1281273ad2ant2 1081 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (1 mod 𝑃) = 1)
129128ad2antrr 761 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (1 mod 𝑃) = 1)
13011, 120, 1293eqtrd 2664 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
131130ex 450 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1))
132131rexlimdva 3029 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1))
1335, 132mpd 15 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wrex 2913  cdif 3557  {csn 4153  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  cn 10965  2c2 11015  3c3 11016  7c7 11020  8c8 11021  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631   mod cmo 12605  cexp 12797  cdvds 14902  cprime 15304   /L clgs 24914  FermatNocfmtno 40726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
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This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2  40766
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