Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnorec2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnorec2lem 40753
Description: Lemma for fmtnorec2 40754 (induction step). (Contributed by AV, 29-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnorec2lem (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) → (FermatNo‘((𝑦 + 1) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2)))
Distinct variable group:   𝑦,𝑛

Proof of Theorem fmtnorec2lem
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 11277 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
2 peano2nn0 11277 . . . . . 6 ((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
3 fmtno 40740 . . . . . 6 (((𝑦 + 1) + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑦 + 1) + 1)) = ((2↑(2↑((𝑦 + 1) + 1))) + 1))
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑦 + 1) + 1)) = ((2↑(2↑((𝑦 + 1) + 1))) + 1))
5 2cnd 11037 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
65, 1expp1d 12949 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑((𝑦 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑦 + 1)) · 2))
76oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑((𝑦 + 1) + 1))) = (2↑((2↑(𝑦 + 1)) · 2)))
8 2nn0 11253 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
109, 1nn0expcld 12971 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑦 + 1)) ∈ ℕ0)
119, 10nn0expcld 12971 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑(𝑦 + 1))) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11297 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑(𝑦 + 1))) ∈ ℂ)
1312sqvald 12945 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑦 + 1)))↑2) = ((2↑(2↑(𝑦 + 1))) · (2↑(2↑(𝑦 + 1)))))
145, 9, 10expmuld 12951 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑(𝑦 + 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑦 + 1)))↑2))
15 fmtnom1nn 40743 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑦 + 1))))
161, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑦 + 1))))
1716, 16oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = ((2↑(2↑(𝑦 + 1))) · (2↑(2↑(𝑦 + 1)))))
1813, 14, 173eqtr4d 2665 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑(𝑦 + 1)) · 2)) = (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
197, 18eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑((𝑦 + 1) + 1))) = (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
2019oveq1d 6619 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑((𝑦 + 1) + 1))) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
214, 20eqtrd 2655 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑦 + 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
2221adantr 481 . . 3 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2)) → (FermatNo‘((𝑦 + 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
23 oveq1 6611 . . . . . 6 ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) = ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1))
2423oveq1d 6619 . . . . 5 ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) → (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
2524oveq1d 6619 . . . 4 ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) → ((((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
2625adantl 482 . . 3 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2)) → ((((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
27 fzfid 12712 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → (0...𝑦) ∈ Fin)
28 elfznn0 12374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (0...𝑦) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29 fmtnonn 40742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
3029nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (0...𝑦) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
3231adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (0...𝑦)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
3327, 32fprodcl 14607 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
34 1cnd 10000 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3533, 5, 34addsubassd 10356 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + (2 − 1)))
36 2m1e1 11079 . . . . . . . . . 10 (2 − 1) = 1
3736oveq2i 6615 . . . . . . . . 9 (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + (2 − 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 1)
3835, 37syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 1))
3938oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
40 fmtnonn 40742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑦 + 1)) ∈ ℕ)
411, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑦 + 1)) ∈ ℕ)
4241nncnd 10980 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑦 + 1)) ∈ ℂ)
4342, 34subcld 10336 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
4433, 42muls1d 10435 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)))
4543mulid2d 10002 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (1 · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1))
4644, 45oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + (1 · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1))) = (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
4733, 43, 34, 46joinlmuladdmuld 10011 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
4839, 47eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
4948adantr 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2)) → (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
5049oveq1d 6619 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2)) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
5142, 5, 33subadd2d 10355 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) = ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) ↔ (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) = (FermatNo‘(𝑦 + 1))))
52 eqcom 2628 . . . . . . 7 ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) ↔ (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) = (FermatNo‘(𝑦 + 1)))
5351, 52syl6rbbr 279 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) ↔ ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) = ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)))
54 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) = ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) → ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) = ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)))
5554oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) = ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) → (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
5655oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) = ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
5756eqcoms 2629 . . . . . . . 8 (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) = ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
5833, 42mulcld 10004 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) ∈ ℂ)
5942, 5subcld 10336 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) ∈ ℂ)
6058, 59subcld 10336 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) ∈ ℂ)
6160, 43, 34addassd 10006 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) + 1)))
62 elnn0uz 11669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (ℤ‘0))
6362biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (ℤ‘0))
64 elfznn0 12374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
6564, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
67 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑦 + 1) → (FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘(𝑦 + 1)))
6863, 66, 67fprodp1 14624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ0 → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))))
6968eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ0 → (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) = ∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛))
7069oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)))
71 npcan1 10399 . . . . . . . . . . . 12 ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) ∈ ℂ → (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) + 1) = (FermatNo‘(𝑦 + 1)))
7242, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) + 1) = (FermatNo‘(𝑦 + 1)))
7370, 72oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) + 1)) = ((∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + (FermatNo‘(𝑦 + 1))))
74 fzfid 12712 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ0 → (0...(𝑦 + 1)) ∈ Fin)
7574, 66fprodcl 14607 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
7675, 59, 42subadd23d 10358 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + (FermatNo‘(𝑦 + 1))) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2))))
7773, 76eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2))))
7842, 5nncand 10341 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) = 2)
7978oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2))) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2))
8061, 77, 793eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2))
8157, 80sylan9eqr 2677 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) = ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2))
8281ex 450 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) = ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2)))
8353, 82sylbid 230 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2)))
8483imp 445 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2)) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2))
8550, 84eqtrd 2655 . . 3 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2)) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2))
8622, 26, 853eqtrd 2659 . 2 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2)) → (FermatNo‘((𝑦 + 1) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2))
8786ex 450 1 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) → (FermatNo‘((𝑦 + 1) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cuz 11631  ...cfz 12268  cexp 12800  cprod 14560  FermatNocfmtno 40738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561  df-fmtno 40739
This theorem is referenced by:  fmtnorec2  40754
  Copyright terms: Public domain W3C validator