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Theorem fmtnorec4 40748
Description: The fourth recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 31-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnorec4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))))

Proof of Theorem fmtnorec4
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 11670 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnm1nn0 11279 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
4 fmtno 40728 . . . . . 6 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
65oveq1d 6620 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2))
7 2nn 11130 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ)
9 2nn0 11254 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
1110, 3nn0expcld 12968 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
128, 11nnexpcld 12967 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ)
1312nncnd 10981 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
14 binom21 12917 . . . . 5 ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
16 2cn 11036 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
1817, 10, 11expmuld 12948 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
1917, 3expp1d 12946 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
201nncnd 10981 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
21 npcan1 10400 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2322oveq2d 6621 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = (2↑𝑁))
2419, 23eqtr3d 2662 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) = (2↑𝑁))
2524oveq2d 6621 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
2618, 25eqtr3d 2662 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) = (2↑(2↑𝑁)))
2726oveq1d 6620 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
2827oveq1d 6620 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
296, 15, 283eqtrd 2664 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
30 uznn0sub 11663 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
31 fmtno 40728 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))
3332oveq1d 6620 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1) = (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1))
3433oveq1d 6620 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2))
3510, 30nn0expcld 12968 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 − 2)) ∈ ℕ0)
368, 35nnexpcld 12967 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℕ)
3736nncnd 10981 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
38 peano2cn 10153 . . . . . . 7 ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ → ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ)
3937, 38syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ)
40 binom2sub1 12919 . . . . . 6 (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
4139, 40syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
42 binom21 12917 . . . . . . . 8 ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1))
4337, 42syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1))
4443oveq1d 6620 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))))
4544oveq1d 6620 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1) = ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
4634, 41, 453eqtrd 2664 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2) = ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
4746oveq2d 6621 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2)) = (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)))
4829, 47oveq12d 6623 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))))
4936, 10nnexpcld 12967 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) ∈ ℕ)
5049nncnd 10981 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) ∈ ℂ)
5117, 37mulcld 10005 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) ∈ ℂ)
5250, 51addcld 10004 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ)
53 peano2cn 10153 . . . . . . 7 ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
5452, 53syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
5517, 39mulcld 10005 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) ∈ ℂ)
5654, 55subcld 10337 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) ∈ ℂ)
57 1cnd 10001 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
5817, 56, 57adddid 10009 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)) = ((2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) + (2 · 1)))
5952, 57addcld 10004 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
6017, 59, 55subdid 10431 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) − (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))))
6117, 52, 57adddid 10009 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) = ((2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) + (2 · 1)))
6217, 50, 51adddid 10009 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) + (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))))
6317, 10, 35expmuld 12948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 2)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2))
6417, 30expp1d 12946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 − 2) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 2)) · 2))
6520, 17, 57subsubd 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
6665eqcomd 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
6766oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 − 2) + 1)) = (2↑(𝑁 − (2 − 1))))
6864, 67eqtr3d 2662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 − 2)) · 2) = (2↑(𝑁 − (2 − 1))))
6968oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 2)) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))))
7063, 69eqtr3d 2662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) = (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))))
7170oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1))))))
72 2m1e1 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 − 1) = 1)
7473oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
7574oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 − (2 − 1))) = (2↑(𝑁 − 1)))
7675oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
7776oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1))))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
7871, 77eqtrd 2660 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
7917, 17, 37mulassd 10008 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) = (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
8079eqcomd 2632 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) = ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))
8178, 80oveq12d 6623 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) + (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
8262, 81eqtrd 2660 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
83 2t1e2 11121 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
8483a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 1) = 2)
8582, 84oveq12d 6623 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) + (2 · 1)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2))
8661, 85eqtrd 2660 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2))
8717, 37, 57adddid 10009 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + (2 · 1)))
8884oveq2d 6621 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + (2 · 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2))
8987, 88eqtrd 2660 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2))
9089oveq2d 6621 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (2 · ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2)))
9117, 51, 17adddid 10009 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2)) = ((2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 · 2)))
92 2t2e4 11122 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
9392a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 2) = 4)
9480, 93oveq12d 6623 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 · 2)) = (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4))
9590, 91, 943eqtrd 2664 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4))
9686, 95oveq12d 6623 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) − (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
9760, 96eqtrd 2660 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
9897, 84oveq12d 6623 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) + (2 · 1)) = (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2))
9958, 98eqtrd 2660 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)) = (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2))
10099oveq2d 6621 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)))
10117, 13mulcld 10005 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
10216, 16mulcli 9990 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 2) ∈ ℂ
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 2) ∈ ℂ)
104103, 37mulcld 10005 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) ∈ ℂ)
105101, 104addcld 10004 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ)
106105, 17addcld 10004 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) ∈ ℂ)
107 4cn 11043 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
108107a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 4 ∈ ℂ)
109104, 108addcld 10004 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4) ∈ ℂ)
110105, 17, 17addassd 10007 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) + 2) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 + 2)))
111 2p2e4 11089 . . . . . . . . . . . 12 (2 + 2) = 4
112111a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 + 2) = 4)
113112oveq2d 6621 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 + 2)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 4))
114101, 104, 108addassd 10007 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 4) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
115110, 113, 1143eqtrd 2664 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) + 2) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
116106, 17, 101, 109, 115subaddeqd 10391 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2))
117116eqcomd 2632 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
118106, 109subcld 10337 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) ∈ ℂ)
119101, 17, 118subadd2d 10356 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) ↔ (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
120117, 119mpbid 222 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
121120oveq2d 6621 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑𝑁)) + (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
122 eluzge2nn0 11671 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12310, 122nn0expcld 12968 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
1248, 123nnexpcld 12967 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
125124nncnd 10981 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
126125, 101addcld 10004 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℂ)
127118, 17addcld 10004 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) ∈ ℂ)
128126, 127, 125subadd2d 10356 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (2↑(2↑𝑁)) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))))
129121, 128mpbird 247 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
130129oveq1d 6620 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
131126, 57, 127addsubd 10358 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) + 1))
132 fmtno 40728 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
133122, 132syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
134130, 131, 1333eqtr4d 2670 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (FermatNo‘𝑁))
13548, 100, 1343eqtrrd 2665 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  cmin 10211  cn 10965  2c2 11015  4c4 11017  0cn0 11237  cuz 11631  cexp 12797  FermatNocfmtno 40726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fmtno 40727
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