Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmul01lt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmul01lt1 39254
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value E larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1.1 𝑖𝐵
fmul01lt1.2 𝑖𝜑
fmul01lt1.3 𝑗𝐴
fmul01lt1.4 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
fmul01lt1.5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fmul01lt1.6 (𝜑𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
fmul01lt1.7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
fmul01lt1.8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1.10 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐸   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem fmul01lt1
StepHypRef Expression
1 fmul01lt1.10 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸)
2 nfv 1840 . . 3 𝑗𝜑
3 fmul01lt1.3 . . . . 5 𝑗𝐴
4 nfcv 2761 . . . . 5 𝑗𝑀
53, 4nffv 6165 . . . 4 𝑗(𝐴𝑀)
6 nfcv 2761 . . . 4 𝑗 <
7 nfcv 2761 . . . 4 𝑗𝐸
85, 6, 7nfbr 4669 . . 3 𝑗(𝐴𝑀) < 𝐸
9 fmul01lt1.1 . . . . 5 𝑖𝐵
10 fmul01lt1.2 . . . . . 6 𝑖𝜑
11 nfv 1840 . . . . . 6 𝑖 𝑗 ∈ (1...𝑀)
12 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑖𝑗
139, 12nffv 6165 . . . . . . 7 𝑖(𝐵𝑗)
14 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑖 <
15 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑖𝐸
1613, 14, 15nfbr 4669 . . . . . 6 𝑖(𝐵𝑗) < 𝐸
1710, 11, 16nf3an 1828 . . . . 5 𝑖(𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸)
18 fmul01lt1.4 . . . . 5 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
19 1zzd 11368 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
20 fmul01lt1.5 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21 elnnuz 11684 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
2220, 21sylib 208 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
23223ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
24 fmul01lt1.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
2524ffvelrnda 6325 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
26253ad2antl1 1221 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
27 fmul01lt1.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
28273ad2antl1 1221 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
29 fmul01lt1.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
30293ad2antl1 1221 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
31 fmul01lt1.9 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
32313ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝐸 ∈ ℝ+)
33 simp2 1060 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
34 simp3 1061 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → (𝐵𝑗) < 𝐸)
359, 17, 18, 19, 23, 26, 28, 30, 32, 33, 34fmul01lt1lem2 39253 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
36353exp 1261 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝐵𝑗) < 𝐸 → (𝐴𝑀) < 𝐸)))
372, 8, 36rexlimd 3021 . 2 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸 → (𝐴𝑀) < 𝐸))
381, 37mpd 15 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748  wrex 2909   class class class wbr 4623  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  cn 10980  cuz 11647  +crp 11792  ...cfz 12284  seqcseq 12757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758
This theorem is referenced by:  stoweidlem48  39602
  Copyright terms: Public domain W3C validator