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Theorem fmul01lt1lem2 39218
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value 𝐸 larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem2.1 𝑖𝐵
fmul01lt1lem2.2 𝑖𝜑
fmul01lt1lem2.3 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵)
fmul01lt1lem2.4 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
fmul01lt1lem2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
fmul01lt1lem2.6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
fmul01lt1lem2.7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
fmul01lt1lem2.8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1lem2.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1lem2.10 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑀))
fmul01lt1lem2.11 (𝜑 → (𝐵𝐽) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem2 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐽   𝑖,𝐿   𝑖,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem fmul01lt1lem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmul01lt1lem2.1 . . 3 𝑖𝐵
2 fmul01lt1lem2.2 . . . 4 𝑖𝜑
3 nfv 1840 . . . 4 𝑖 𝐽 = 𝐿
42, 3nfan 1825 . . 3 𝑖(𝜑𝐽 = 𝐿)
5 fmul01lt1lem2.3 . . 3 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵)
6 fmul01lt1lem2.4 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
8 fmul01lt1lem2.5 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
10 fmul01lt1lem2.6 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
1110adantlr 750 . . 3 (((𝜑𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
12 fmul01lt1lem2.7 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
1312adantlr 750 . . 3 (((𝜑𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
14 fmul01lt1lem2.8 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
1514adantlr 750 . . 3 (((𝜑𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
16 fmul01lt1lem2.9 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1716adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝐸 ∈ ℝ+)
18 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝐽 = 𝐿)
1918fveq2d 6152 . . . 4 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐵𝐽) = (𝐵𝐿))
20 fmul01lt1lem2.11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐽) < 𝐸)
2120adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐵𝐽) < 𝐸)
2219, 21eqbrtrrd 4637 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐵𝐿) < 𝐸)
231, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 22fmul01lt1lem1 39217 . 2 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
245fveq1i 6149 . . 3 (𝐴𝑀) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀)
25 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)
262, 25nfan 1825 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))
27 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑎
281, 27nffv 6155 . . . . . . . . 9 𝑖(𝐵𝑎)
2928nfel1 2775 . . . . . . . 8 𝑖(𝐵𝑎) ∈ ℝ
3026, 29nfim 1822 . . . . . . 7 𝑖((𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
31 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)))
3231anbi2d 739 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑎 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) ↔ (𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))))
33 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑎))
3433eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑎 → ((𝐵𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝐵𝑎) ∈ ℝ))
3532, 34imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
3630, 35, 10chvar 2261 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
37 remulcl 9965 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
3837adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
398, 36, 38seqcl 12761 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
4039adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
41 fmul01lt1lem2.10 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑀))
42 elfzuz3 12281 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐽))
4341, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐽))
44 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)
452, 44nfan 1825 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀))
4645, 29nfim 1822 . . . . . . 7 𝑖((𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
47 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) ↔ 𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)))
4847anbi2d 739 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑎 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) ↔ (𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀))))
4948, 34imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
506adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
51 eluzelz 11641 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → 𝑀 ∈ ℤ)
528, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5352adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
54 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
5554adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
5650, 53, 553jca 1240 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
576zred 11426 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℝ)
59 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
6041, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
6160zred 11426 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
6261adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℝ)
6354zred 11426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
6463adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
65 elfzle1 12286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝐿𝐽)
6641, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿𝐽)
6766adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿𝐽)
68 elfzle1 12286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝐽𝑖)
6968adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐽𝑖)
7058, 62, 64, 67, 69letrd 10138 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿𝑖)
71 elfzle2 12287 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝑖𝑀)
7271adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖𝑀)
7370, 72jca 554 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐿𝑖𝑖𝑀))
74 elfz2 12275 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑖𝑖𝑀)))
7556, 73, 74sylanbrc 697 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀))
7675, 10syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
7746, 49, 76chvar 2261 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
7843, 77, 38seqcl 12761 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
7978adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
8016rpred 11816 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
8180adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐸 ∈ ℝ)
82 remulcl 9965 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
8382adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
84 simp1 1059 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
8584recnd 10012 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
86 simp2 1060 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
8786recnd 10012 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℂ)
88 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑐 ∈ ℝ)
8988recnd 10012 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑐 ∈ ℂ)
9085, 87, 89mulassd 10007 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
9190adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
9260zcnd 11427 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
93 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9492, 93npcand 10340 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐽 − 1) + 1) = 𝐽)
9594fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤ‘((𝐽 − 1) + 1)) = (ℤ𝐽))
9643, 95eleqtrrd 2701 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘((𝐽 − 1) + 1)))
9796adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ‘((𝐽 − 1) + 1)))
986adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
9960adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐽 ∈ ℤ)
100 1zzd 11352 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 1 ∈ ℤ)
10199, 100zsubcld 11431 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
102 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ¬ 𝐽 = 𝐿)
103 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 = 𝐿𝐿 = 𝐽)
104102, 103sylnib 318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ¬ 𝐿 = 𝐽)
10557, 61leloed 10124 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿𝐽 ↔ (𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽)))
10666, 105mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽))
107106adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽))
108 orel2 398 . . . . . . . . . . 11 𝐿 = 𝐽 → ((𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽) → 𝐿 < 𝐽))
109104, 107, 108sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐿 < 𝐽)
110 zltlem1 11374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝐽𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
1116, 60, 110syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 < 𝐽𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
112111adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 < 𝐽𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
113109, 112mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐿 ≤ (𝐽 − 1))
114 eluz2 11637 . . . . . . . . 9 ((𝐽 − 1) ∈ (ℤ𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
11598, 101, 113, 114syl3anbrc 1244 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ∈ (ℤ𝐿))
116 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ¬ 𝐽 = 𝐿
1172, 116nfan 1825 . . . . . . . . . . 11 𝑖(𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿)
118117, 25nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑖((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))
119118, 29nfim 1822 . . . . . . . . 9 𝑖(((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
12031anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))))
121120, 34imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
12210adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
123119, 121, 122chvar 2261 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
12483, 91, 97, 115, 123seqsplit 12774 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)))
12594adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((𝐽 − 1) + 1) = 𝐽)
126125seqeq1d 12747 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵) = seq𝐽( · , 𝐵))
127126fveq1d 6150 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) = (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
128127oveq2d 6620 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
129124, 128eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
130 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑖 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))
131117, 130nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑖((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)))
132131, 29nfim 1822 . . . . . . . . 9 𝑖(((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
133 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) ↔ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))))
134133anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)))))
135134, 34imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
1366adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐿 ∈ ℤ)
13752adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
138 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
139138adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
140136, 137, 1393jca 1240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
141 elfzle1 12286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝐿𝑖)
142141adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐿𝑖)
143138zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
144143adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
14561adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℝ)
14652zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
147146adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
148 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14961, 148resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
150149adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
151 elfzle2 12287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝐽 − 1))
152151adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝐽 − 1))
15361lem1d 10901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐽 − 1) ≤ 𝐽)
154153adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ≤ 𝐽)
155144, 150, 145, 152, 154letrd 10138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖𝐽)
156 elfzle2 12287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝐽𝑀)
15741, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽𝑀)
158157adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐽𝑀)
159144, 145, 147, 155, 158letrd 10138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖𝑀)
160142, 159jca 554 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐿𝑖𝑖𝑀))
161140, 160, 74sylanbrc 697 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀))
162161, 10syldan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
163162adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
164132, 135, 163chvar 2261 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
16537adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
166115, 164, 165seqcl 12761 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ∈ ℝ)
167 1red 9999 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 1 ∈ ℝ)
168 eqid 2621 . . . . . . . . 9 seq𝐽( · , 𝐵) = seq𝐽( · , 𝐵)
16943adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐽))
170 eluzfz2 12291 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝐽) → 𝑀 ∈ (𝐽...𝑀))
17143, 170syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (𝐽...𝑀))
172171adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (𝐽...𝑀))
17376adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
17475, 12syldan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
175174adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
17675, 14syldan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
177176adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
1781, 117, 168, 99, 169, 172, 173, 175, 177fmul01 39213 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (0 ≤ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∧ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ 1))
179178simpld 475 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 0 ≤ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
180 eqid 2621 . . . . . . . . 9 seq𝐿( · , 𝐵) = seq𝐿( · , 𝐵)
1818adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
182 1zzd 11352 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18360, 182zsubcld 11431 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
1846, 52, 1833jca 1240 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ))
185184adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ))
186149, 61, 1463jca 1240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐽 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
187186adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((𝐽 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
18861adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐽 ∈ ℝ)
189188lem1d 10901 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ≤ 𝐽)
190157adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐽𝑀)
191189, 190jca 554 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((𝐽 − 1) ≤ 𝐽𝐽𝑀))
192 letr 10075 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (((𝐽 − 1) ≤ 𝐽𝐽𝑀) → (𝐽 − 1) ≤ 𝑀))
193187, 191, 192sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ≤ 𝑀)
194113, 193jca 554 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 ≤ (𝐽 − 1) ∧ (𝐽 − 1) ≤ 𝑀))
195 elfz2 12275 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 − 1) ∈ (𝐿...𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ (𝐽 − 1) ∧ (𝐽 − 1) ≤ 𝑀)))
196185, 194, 195sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ∈ (𝐿...𝑀))
19712adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
19814adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
1991, 117, 180, 98, 181, 196, 122, 197, 198fmul01 39213 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (0 ≤ (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ∧ (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ≤ 1))
200199simprd 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ≤ 1)
201166, 167, 79, 179, 200lemul1ad 10907 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)) ≤ (1 · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
202129, 201eqbrtrd 4635 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ (1 · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
20379recnd 10012 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℂ)
204203mulid2d 10002 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (1 · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)) = (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
205202, 204breqtrd 4639 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
2061, 2, 168, 60, 43, 76, 174, 176, 16, 20fmul01lt1lem1 39217 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
207206adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
20840, 79, 81, 205, 207lelttrd 10139 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
20924, 208syl5eqbr 4648 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
21023, 209pm2.61dan 831 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  ...cfz 12268  seqcseq 12741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742
This theorem is referenced by:  fmul01lt1  39219
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