Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmulcl 39217
Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmulcl.1 𝑃 = (𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
fmulcl.2 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
fmulcl.4 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑀))
fmulcl.5 (𝜑𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
fmulcl.6 ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)
fmulcl.7 (𝜑𝑇 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
fmulcl (𝜑𝑋𝑌)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑌,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑀(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑋(𝑡,𝑓,𝑔)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem fmulcl
Dummy variables 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmulcl.2 . 2 𝑋 = (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁)
2 fmulcl.4 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑀))
3 elfzuz 12280 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
5 elfzuz3 12281 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
6 fzss2 12323 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
72, 5, 63syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀))
87sselda 3583 . . . 4 ((𝜑 ∈ (1...𝑁)) → ∈ (1...𝑀))
9 fmulcl.5 . . . . 5 (𝜑𝑈:(1...𝑀)⟶𝑌)
109ffvelrnda 6315 . . . 4 ((𝜑 ∈ (1...𝑀)) → (𝑈) ∈ 𝑌)
118, 10syldan 487 . . 3 ((𝜑 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈) ∈ 𝑌)
12 simprl 793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → 𝑌)
13 simprr 795 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → 𝑙𝑌)
14 fmulcl.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ V)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → 𝑇 ∈ V)
16 mptexg 6438 . . . . . 6 (𝑇 ∈ V → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ V)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ V)
18 fveq1 6147 . . . . . . . 8 (𝑓 = → (𝑓𝑡) = (𝑡))
19 fveq1 6147 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑙 → (𝑔𝑡) = (𝑙𝑡))
2018, 19oveqan12d 6623 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝑔 = 𝑙) → ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)) = ((𝑡) · (𝑙𝑡)))
2120mpteq2dv 4705 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝑔 = 𝑙) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
22 fmulcl.1 . . . . . 6 𝑃 = (𝑓𝑌, 𝑔𝑌 ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
2321, 22ovmpt2ga 6743 . . . . 5 ((𝑌𝑙𝑌 ∧ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ V) → (𝑃𝑙) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
2412, 13, 17, 23syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → (𝑃𝑙) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
25 3simpc 1058 . . . . . 6 ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑌𝑙𝑌))
26 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑓 = → (𝑓𝑌𝑌))
27263anbi2d 1401 . . . . . . . 8 (𝑓 = → ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) ↔ (𝜑𝑌𝑔𝑌)))
2818oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = → ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)) = ((𝑡) · (𝑔𝑡)))
2928mpteq2dv 4705 . . . . . . . . 9 (𝑓 = → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))))
3029eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑓 = → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌))
3127, 30imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑓 = → (((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)))
32 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑙 → (𝑔𝑌𝑙𝑌))
33323anbi3d 1402 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑙 → ((𝜑𝑌𝑔𝑌) ↔ (𝜑𝑌𝑙𝑌)))
3419oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑙 → ((𝑡) · (𝑔𝑡)) = ((𝑡) · (𝑙𝑡)))
3534mpteq2dv 4705 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑙 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))))
3635eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑙 → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌))
3733, 36imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑙 → (((𝜑𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌)))
38 fmulcl.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑌𝑔𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝑌)
3931, 37, 38vtocl2g 3256 . . . . . 6 ((𝑌𝑙𝑌) → ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌))
4025, 39mpcom 38 . . . . 5 ((𝜑𝑌𝑙𝑌) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌)
41403expb 1263 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝑌)
4224, 41eqeltrd 2698 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑙𝑌)) → (𝑃𝑙) ∈ 𝑌)
434, 11, 42seqcl 12761 . 2 (𝜑 → (seq1(𝑃, 𝑈)‘𝑁) ∈ 𝑌)
441, 43syl5eqel 2702 1 (𝜑𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  wss 3555  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  1c1 9881   · cmul 9885  cuz 11631  ...cfz 12268  seqcseq 12741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742
This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  39218  stoweidlem51  39575
  Copyright terms: Public domain W3C validator