Theorem fnconstg 5991

Description: A Cartesian product with a singleton is a constant function. (Contributed by NM, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fnconstg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)

Proof of Theorem fnconstg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5990	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		ffn 5944	. 2 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1976  {csn 4124   × cxp 5026   Fn wfn 5785  ⟶wf 5786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794

This theorem is referenced by:  fconst2g  6351  ofc1  6796  ofc2  6797  caofid0l  6801  caofid0r  6802  caofid1  6803  caofid2  6804  fnsuppres  7187  fczsupp0  7189  fczfsuppd  8154  brwdom2  8339  cantnf0  8433  ofnegsub  10868  ofsubge0  10869  pwsplusgval  15922  pwsmulrval  15923  pwsvscafval  15926  xpsc0  15992  xpsc1  15993  pwsco1mhm  17142  dprdsubg  18195  pwsmgp  18390  pwssplit1  18829  frlmpwsfi  19863  frlmbas  19866  frlmvscaval  19877  islindf4  19944  tmdgsum2  21658  0plef  23190  0pledm  23191  itg1ge0  23204  mbfi1fseqlem5  23237  xrge0f  23249  itg2ge0  23253  itg2addlem  23276  bddibl  23357  dvidlem  23430  rolle  23502  dveq0  23512  dv11cn  23513  tdeglem4  23569  mdeg0  23579  fta1blem  23677  qaa  23827  basellem9  24560  ofcc  29329  ofcof  29330  eulerpartlemt  29594  matunitlindflem1  32399  matunitlindflem2  32400  ptrecube  32403  poimirlem1  32404  poimirlem2  32405  poimirlem3  32406  poimirlem4  32407  poimirlem5  32408  poimirlem6  32409  poimirlem7  32410  poimirlem10  32413  poimirlem11  32414  poimirlem12  32415  poimirlem16  32419  poimirlem17  32420  poimirlem19  32422  poimirlem20  32423  poimirlem22  32425  poimirlem23  32426  poimirlem28  32431  poimirlem29  32432  poimirlem31  32434  poimirlem32  32435  broucube  32437  cnpwstotbnd  32590  eqlkr2  33229  pwssplit4  36501  mpaaeu  36563  rngunsnply  36586  ofdivrec  37371  dvconstbi  37379  zlmodzxzscm  41950  aacllem  42339