Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fncpn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fncpn 23915
 Description: The Cn object is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fncpn (𝑆 ⊆ ℂ → (Cn𝑆) Fn ℕ0)

Proof of Theorem fncpn
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6842 . . . 4 (ℂ ↑pm 𝑆) ∈ V
21rabex 4964 . . 3 {𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∣ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑛) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ)} ∈ V
3 eqid 2760 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∣ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑛) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ)}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∣ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑛) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ)})
42, 3fnmpti 6183 . 2 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∣ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑛) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ)}) Fn ℕ0
5 cpnfval 23914 . . 3 (𝑆 ⊆ ℂ → (Cn𝑆) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∣ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑛) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ)}))
65fneq1d 6142 . 2 (𝑆 ⊆ ℂ → ((Cn𝑆) Fn ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∣ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑛) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ)}) Fn ℕ0))
74, 6mpbiri 248 1 (𝑆 ⊆ ℂ → (Cn𝑆) Fn ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139  {crab 3054   ⊆ wss 3715   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266   Fn wfn 6044  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ↑pm cpm 8026  ℂcc 10146  ℕ0cn0 11504  –cn→ccncf 22900   D𝑛 cdvn 23847  Cnccpn 23848 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-nn 11233  df-n0 11505  df-cpn 23852 This theorem is referenced by:  cpncn  23918  cpnres  23919  plycpn  24263  aalioulem3  24308
 Copyright terms: Public domain W3C validator