Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnejoin1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnejoin1 32669
 Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part one. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnejoin1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴Fneif(𝑆 = ∅, {𝑋}, 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fnejoin1
StepHypRef Expression
1 elssuni 4619 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 𝑆)
213ad2ant3 1130 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴 𝑆)
32unissd 4614 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴 𝑆)
4 eqimss2 3799 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = 𝑦 𝑦𝑋)
5 sspwuni 4763 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋 𝑦𝑋)
64, 5sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝑋 = 𝑦𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
76ralimi 3090 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
873ad2ant2 1129 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → ∀𝑦𝑆 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
9 unissb 4621 . . . . . . 7 ( 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
108, 9sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋)
11 sspwuni 4763 . . . . . 6 ( 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋 𝑆𝑋)
1210, 11sylib 208 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑆𝑋)
13 unieq 4596 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 𝑦 = 𝐴)
1413eqeq2d 2770 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝑋 = 𝑦𝑋 = 𝐴))
1514rspccva 3448 . . . . . 6 ((∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑋 = 𝐴)
16153adant1 1125 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑋 = 𝐴)
1712, 16sseqtrd 3782 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑆 𝐴)
183, 17eqssd 3761 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴 = 𝑆)
19 pwexg 4999 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
20193ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝒫 𝑋 ∈ V)
2120, 10ssexd 4957 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑆 ∈ V)
22 bastg 20972 . . . . 5 ( 𝑆 ∈ V → 𝑆 ⊆ (topGen‘ 𝑆))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑆 ⊆ (topGen‘ 𝑆))
242, 23sstrd 3754 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴 ⊆ (topGen‘ 𝑆))
25 eqid 2760 . . . 4 𝐴 = 𝐴
26 eqid 2760 . . . 4 𝑆 = 𝑆
2725, 26isfne4 32641 . . 3 (𝐴Fne 𝑆 ↔ ( 𝐴 = 𝑆𝐴 ⊆ (topGen‘ 𝑆)))
2818, 24, 27sylanbrc 701 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴Fne 𝑆)
29 ne0i 4064 . . . 4 (𝐴𝑆𝑆 ≠ ∅)
30293ad2ant3 1130 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
31 ifnefalse 4242 . . 3 (𝑆 ≠ ∅ → if(𝑆 = ∅, {𝑋}, 𝑆) = 𝑆)
3230, 31syl 17 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → if(𝑆 = ∅, {𝑋}, 𝑆) = 𝑆)
3328, 32breqtrrd 4832 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴Fneif(𝑆 = ∅, {𝑋}, 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302  {csn 4321  ∪ cuni 4588   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  topGenctg 16300  Fnecfne 32637 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-topgen 16306  df-fne 32638 This theorem is referenced by:  fnejoin2  32670
 Copyright terms: Public domain W3C validator