Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnemeet1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnemeet1 32000
Description: The meet of a collection of equivalence classes of covers with respect to fineness. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝐴)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑡,𝐴   𝑡,𝑆,𝑦   𝑡,𝑉   𝑡,𝑋,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fnemeet1
StepHypRef Expression
1 unitg 20682 . . . . . . . 8 (𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) = 𝑡)
21adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (topGen‘𝑡) = 𝑡)
3 unieq 4410 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑡 𝑦 = 𝑡)
43eqeq2d 2631 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑡 → (𝑋 = 𝑦𝑋 = 𝑡))
54rspccva 3294 . . . . . . . 8 ((∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑡𝑆) → 𝑋 = 𝑡)
653ad2antl2 1222 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝑋 = 𝑡)
72, 6eqtr4d 2658 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (topGen‘𝑡) = 𝑋)
8 eqimss 3636 . . . . . 6 ( (topGen‘𝑡) = 𝑋 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝑋)
97, 8syl 17 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (topGen‘𝑡) ⊆ 𝑋)
10 sspwuni 4577 . . . . 5 ((topGen‘𝑡) ⊆ 𝒫 𝑋 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝑋)
119, 10sylibr 224 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (topGen‘𝑡) ⊆ 𝒫 𝑋)
1211ralrimiva 2960 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → ∀𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝒫 𝑋)
13 ne0i 3897 . . . 4 (𝐴𝑆𝑆 ≠ ∅)
14133ad2ant3 1082 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
15 riinn0 4561 . . 3 ((∀𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝒫 𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
1612, 14, 15syl2anc 692 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
17 simp3 1061 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
18 ssid 3603 . . . . . . . 8 (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐴)
19 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝐴 → (topGen‘𝑡) = (topGen‘𝐴))
2019sseq1d 3611 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐴 → ((topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴) ↔ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐴)))
2120rspcev 3295 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐴)) → ∃𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
2217, 18, 21sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → ∃𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
23 iinss 4537 . . . . . . 7 (∃𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
2524unissd 4428 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
26 unitg 20682 . . . . . 6 (𝐴𝑆 (topGen‘𝐴) = 𝐴)
27263ad2ant3 1082 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → (topGen‘𝐴) = 𝐴)
2825, 27sseqtrd 3620 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝐴)
29 unieq 4410 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 𝑦 = 𝐴)
3029eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝑋 = 𝑦𝑋 = 𝐴))
3130rspccva 3294 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑋 = 𝐴)
32313adant1 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑋 = 𝐴)
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝑋 = 𝐴)
3433, 6eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝐴 = 𝑡)
35 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝑡𝑆)
36 ssid 3603 . . . . . . . . 9 𝑡𝑡
37 eltg3i 20676 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑆𝑡𝑡) → 𝑡 ∈ (topGen‘𝑡))
3835, 36, 37sylancl 693 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝑡 ∈ (topGen‘𝑡))
3934, 38eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝑡))
4039ralrimiva 2960 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → ∀𝑡𝑆 𝐴 ∈ (topGen‘𝑡))
41 uniexg 6908 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆 𝐴 ∈ V)
42413ad2ant3 1082 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴 ∈ V)
43 eliin 4491 . . . . . . 7 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ↔ ∀𝑡𝑆 𝐴 ∈ (topGen‘𝑡)))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → ( 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ↔ ∀𝑡𝑆 𝐴 ∈ (topGen‘𝑡)))
4540, 44mpbird 247 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
46 elssuni 4433 . . . . 5 ( 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) → 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
4828, 47eqssd 3600 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) = 𝐴)
49 eqid 2621 . . . 4 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) = 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)
50 eqid 2621 . . . 4 𝐴 = 𝐴
5149, 50isfne4 31974 . . 3 ( 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)Fne𝐴 ↔ ( 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) = 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴)))
5248, 24, 51sylanbrc 697 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)Fne𝐴)
5316, 52eqbrtrd 4635 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130   cuni 4402   ciin 4486   class class class wbr 4613  cfv 5847  topGenctg 16019  Fnecfne 31970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-topgen 16025  df-fne 31971
This theorem is referenced by:  fnemeet2  32001
  Copyright terms: Public domain W3C validator