Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnemeet1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnemeet1 32667
 Description: The meet of a collection of equivalence classes of covers with respect to fineness. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝐴)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑡,𝐴   𝑡,𝑆,𝑦   𝑡,𝑉   𝑡,𝑋,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fnemeet1
StepHypRef Expression
1 unitg 20973 . . . . . . . 8 (𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) = 𝑡)
21adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (topGen‘𝑡) = 𝑡)
3 unieq 4596 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑡 𝑦 = 𝑡)
43eqeq2d 2770 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑡 → (𝑋 = 𝑦𝑋 = 𝑡))
54rspccva 3448 . . . . . . . 8 ((∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑡𝑆) → 𝑋 = 𝑡)
653ad2antl2 1202 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝑋 = 𝑡)
72, 6eqtr4d 2797 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (topGen‘𝑡) = 𝑋)
8 eqimss 3798 . . . . . 6 ( (topGen‘𝑡) = 𝑋 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝑋)
97, 8syl 17 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (topGen‘𝑡) ⊆ 𝑋)
10 sspwuni 4763 . . . . 5 ((topGen‘𝑡) ⊆ 𝒫 𝑋 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝑋)
119, 10sylibr 224 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (topGen‘𝑡) ⊆ 𝒫 𝑋)
1211ralrimiva 3104 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → ∀𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝒫 𝑋)
13 ne0i 4064 . . . 4 (𝐴𝑆𝑆 ≠ ∅)
14133ad2ant3 1130 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
15 riinn0 4747 . . 3 ((∀𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝒫 𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
1612, 14, 15syl2anc 696 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
17 simp3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
18 ssid 3765 . . . . . . . 8 (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐴)
19 fveq2 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝐴 → (topGen‘𝑡) = (topGen‘𝐴))
2019sseq1d 3773 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐴 → ((topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴) ↔ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐴)))
2120rspcev 3449 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐴)) → ∃𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
2217, 18, 21sylancl 697 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → ∃𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
23 iinss 4723 . . . . . . 7 (∃𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
2524unissd 4614 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴))
26 unitg 20973 . . . . . 6 (𝐴𝑆 (topGen‘𝐴) = 𝐴)
27263ad2ant3 1130 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → (topGen‘𝐴) = 𝐴)
2825, 27sseqtrd 3782 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ 𝐴)
29 unieq 4596 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 𝑦 = 𝐴)
3029eqeq2d 2770 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝑋 = 𝑦𝑋 = 𝐴))
3130rspccva 3448 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑋 = 𝐴)
32313adant1 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑋 = 𝐴)
3332adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝑋 = 𝐴)
3433, 6eqtr3d 2796 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝐴 = 𝑡)
35 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝑡𝑆)
36 ssid 3765 . . . . . . . . 9 𝑡𝑡
37 eltg3i 20967 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑆𝑡𝑡) → 𝑡 ∈ (topGen‘𝑡))
3835, 36, 37sylancl 697 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝑡 ∈ (topGen‘𝑡))
3934, 38eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝑡))
4039ralrimiva 3104 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → ∀𝑡𝑆 𝐴 ∈ (topGen‘𝑡))
41 uniexg 7120 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆 𝐴 ∈ V)
42413ad2ant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴 ∈ V)
43 eliin 4677 . . . . . . 7 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ↔ ∀𝑡𝑆 𝐴 ∈ (topGen‘𝑡)))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → ( 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ↔ ∀𝑡𝑆 𝐴 ∈ (topGen‘𝑡)))
4540, 44mpbird 247 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
46 elssuni 4619 . . . . 5 ( 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) → 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
4828, 47eqssd 3761 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) = 𝐴)
49 eqid 2760 . . . 4 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) = 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)
50 eqid 2760 . . . 4 𝐴 = 𝐴
5149, 50isfne4 32641 . . 3 ( 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)Fne𝐴 ↔ ( 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) = 𝐴 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ⊆ (topGen‘𝐴)))
5248, 24, 51sylanbrc 701 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)Fne𝐴)
5316, 52eqbrtrd 4826 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝐴𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302  ∪ cuni 4588  ∩ ciin 4673   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  topGenctg 16300  Fnecfne 32637 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-topgen 16306  df-fne 32638 This theorem is referenced by:  fnemeet2  32668
 Copyright terms: Public domain W3C validator