Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnetg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnetg 33590
Description: A finer cover generates a topology finer than the original set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnetg (𝐴Fne𝐵𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem fnetg
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 𝐴 = 𝐴
2 eqid 2818 . . 3 𝐵 = 𝐵
31, 2isfne4 33585 . 2 (𝐴Fne𝐵 ↔ ( 𝐴 = 𝐵𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))
43simprbi 497 1 (𝐴Fne𝐵𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wss 3933   cuni 4830   class class class wbr 5057  cfv 6348  topGenctg 16699  Fnecfne 33581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-topgen 16705  df-fne 33582
This theorem is referenced by:  fnessex  33591  fneuni  33592  fnemeet2  33612  fnejoin2  33614
  Copyright terms: Public domain W3C validator