Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnetr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnetr 32321
Description: Transitivity of the fineness relation. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnetr ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐶) → 𝐴Fne𝐶)

Proof of Theorem fnetr
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . . 4 𝐴 = 𝐴
2 eqid 2620 . . . 4 𝐵 = 𝐵
31, 2fnebas 32314 . . 3 (𝐴Fne𝐵 𝐴 = 𝐵)
4 eqid 2620 . . . 4 𝐶 = 𝐶
52, 4fnebas 32314 . . 3 (𝐵Fne𝐶 𝐵 = 𝐶)
63, 5sylan9eq 2674 . 2 ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
7 fnerel 32308 . . . . 5 Rel Fne
87brrelex2i 5149 . . . 4 (𝐴Fne𝐵𝐵 ∈ V)
91, 2isfne4b 32311 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ ( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))))
109simplbda 653 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴Fne𝐵) → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))
118, 10mpancom 702 . . 3 (𝐴Fne𝐵 → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))
127brrelex2i 5149 . . . 4 (𝐵Fne𝐶𝐶 ∈ V)
132, 4isfne4b 32311 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → (𝐵Fne𝐶 ↔ ( 𝐵 = 𝐶 ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))))
1413simplbda 653 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵Fne𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
1512, 14mpancom 702 . . 3 (𝐵Fne𝐶 → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
1611, 15sylan9ss 3608 . 2 ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐶) → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))
1712adantl 482 . . 3 ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐶) → 𝐶 ∈ V)
181, 4isfne4b 32311 . . 3 (𝐶 ∈ V → (𝐴Fne𝐶 ↔ ( 𝐴 = 𝐶 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))))
1917, 18syl 17 . 2 ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐶) → (𝐴Fne𝐶 ↔ ( 𝐴 = 𝐶 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))))
206, 16, 19mpbir2and 956 1 ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐶) → 𝐴Fne𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  wss 3567   cuni 4427   class class class wbr 4644  cfv 5876  topGenctg 16079  Fnecfne 32306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fv 5884  df-topgen 16085  df-fne 32307
This theorem is referenced by:  fnessref  32327  fnemeet2  32337  fnejoin2  32339
  Copyright terms: Public domain W3C validator