Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimabslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimabslt 39315
Description: A sequence of function values, approximates the corresponding limit function value, all but finitely many times. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimabslt.p 𝑚𝜑
fnlimabslt.f 𝑚𝐹
fnlimabslt.n 𝑥𝐹
fnlimabslt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fnlimabslt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fnlimabslt.b ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
fnlimabslt.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimabslt.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
fnlimabslt.x (𝜑𝑋𝐷)
fnlimabslt.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
fnlimabslt (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑌,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚)   𝑀(𝑥,𝑚)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fnlimabslt
Dummy variables 𝑗 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimabslt.p . . . 4 𝑚𝜑
2 fnlimabslt.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 fnlimabslt.b . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
4 eqid 2621 . . . 4 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
5 fnlimabslt.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
6 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥𝑍
7 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑥(ℤ𝑛)
8 fnlimabslt.n . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐹
9 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑚
108, 9nffv 6155 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐹𝑚)
1110nfdm 5327 . . . . . . . . . 10 𝑥dom (𝐹𝑚)
127, 11nfiin 4515 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
136, 12nfiun 4514 . . . . . . . 8 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
14 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
15 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑦(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
16 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦
1710, 16nffv 6155 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑦)
186, 17nfmpt 4706 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦))
19 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥dom ⇝
2018, 19nfel 2773 . . . . . . . 8 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
21 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
2221mpteq2dv 4705 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
2322eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
2413, 14, 15, 20, 23cbvrab 3184 . . . . . . 7 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
25 ssrab2 3666 . . . . . . 7 {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
2624, 25eqsstri 3614 . . . . . 6 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
275, 26eqsstri 3614 . . . . 5 𝐷 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
28 fnlimabslt.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
2927, 28sseldi 3581 . . . 4 (𝜑𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
301, 2, 3, 4, 29allbutfifvre 39311 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
31 nfv 1840 . . . . . 6 𝑗𝜑
32 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑗(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))
33 fnlimabslt.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
34 fnlimabslt.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
358, 5, 34, 28fnlimcnv 39303 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺𝑋))
36 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑙((𝐹𝑚)‘𝑋)
37 fnlimabslt.f . . . . . . . . . . 11 𝑚𝐹
38 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑙
3937, 38nffv 6155 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐹𝑙)
40 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑚𝑋
4139, 40nffv 6155 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑙)‘𝑋)
42 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑙 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑙))
4342fveq1d 6150 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑙 → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑙)‘𝑋))
4436, 41, 43cbvmpt 4709 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑙𝑍 ↦ ((𝐹𝑙)‘𝑋))
4544a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑙𝑍 ↦ ((𝐹𝑙)‘𝑋)))
46 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
4746fveq1d 6150 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 → ((𝐹𝑙)‘𝑋) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
4847adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑙 = 𝑗) → ((𝐹𝑙)‘𝑋) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
49 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
50 fvex 6158 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ V
5150a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ V)
5245, 48, 49, 51fvmptd 6245 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
53 fnlimabslt.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
5431, 32, 2, 33, 35, 52, 53climd 39308 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
55 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑗(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)
56 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑗
5737, 56nffv 6155 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐹𝑗)
5857, 40nffv 6155 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑗)‘𝑋)
59 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑚
6058, 59nfel 2773 . . . . . . . 8 𝑚((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ
61 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑚abs
62 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑚
63 nfmpt1 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
64 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚dom ⇝
6563, 64nfel 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
66 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚𝑍
67 nfii1 4517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
6866, 67nfiun 4514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
6965, 68nfrab 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
705, 69nfcxfr 2759 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚𝐷
71 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚
7271, 63nffv 6155 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
7370, 72nfmpt 4706 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚(𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
7434, 73nfcxfr 2759 . . . . . . . . . . . 12 𝑚𝐺
7574, 40nffv 6155 . . . . . . . . . . 11 𝑚(𝐺𝑋)
7658, 62, 75nfov 6630 . . . . . . . . . 10 𝑚(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))
7761, 76nffv 6155 . . . . . . . . 9 𝑚(abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋)))
78 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑚 <
79 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑚𝑌
8077, 78, 79nfbr 4659 . . . . . . . 8 𝑚(abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌
8160, 80nfan 1825 . . . . . . 7 𝑚(((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)
82 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑗))
8382fveq1d 6150 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
8483eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → (((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ↔ ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ))
8583oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋)) = (((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋)))
8685fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑗 → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))))
8786breq1d 4623 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → ((abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌 ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
8884, 87anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → ((((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) ↔ (((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)))
8955, 81, 88cbvral 3155 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
9089rexbii 3034 . . . . 5 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) ↔ ∃𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
9154, 90sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
92 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑚 𝑛𝑍
931, 92nfan 1825 . . . . . 6 𝑚(𝜑𝑛𝑍)
94 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)
9594a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
9693, 95ralimdaa 2952 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
9796reximdva 3011 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
9891, 97mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)
9930, 98jca 554 . 2 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
1002rexanuz2 14023 . 2 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) ↔ (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
10199, 100sylibr 224 1 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186   ciun 4485   ciin 4486   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879   < clt 10018  cmin 10210  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  abscabs 13908  cli 14149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153
This theorem is referenced by:  smflimlem4  40289
  Copyright terms: Public domain W3C validator