Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimcnv 39303
 Description: The sequence of function values converges to the value of the limit function 𝐺 at any point of its domain 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimcnv.1 𝑥𝐹
fnlimcnv.2 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimcnv.3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
fnlimcnv.4 (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
fnlimcnv (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺𝑋))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝑚   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)   𝑍(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimcnv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimcnv.4 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
2 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹𝑚)‘𝑦) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
32mpteq2dv 4705 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
43eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
5 fnlimcnv.2 . . . . . . 7 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
6 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥𝑍
7 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑥(ℤ𝑛)
8 fnlimcnv.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐹
9 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑚
108, 9nffv 6155 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐹𝑚)
1110nfdm 5327 . . . . . . . . . 10 𝑥dom (𝐹𝑚)
127, 11nfiin 4515 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
136, 12nfiun 4514 . . . . . . . 8 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
14 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
15 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑦(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
16 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦
1710, 16nffv 6155 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑦)
186, 17nfmpt 4706 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦))
19 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥dom ⇝
2018, 19nfel 2773 . . . . . . . 8 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
21 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
2221mpteq2dv 4705 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
2322eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
2413, 14, 15, 20, 23cbvrab 3184 . . . . . . 7 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
255, 24eqtri 2643 . . . . . 6 𝐷 = {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
264, 25elrab2 3348 . . . . 5 (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
271, 26sylib 208 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
2827simprd 479 . . 3 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
29 climdm 14219 . . 3 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
3028, 29sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
31 nfrab1 3111 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
325, 31nfcxfr 2759 . . . 4 𝑥𝐷
33 fnlimcnv.3 . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
3432, 8, 33, 1fnlimfv 39299 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
3534eqcomd 2627 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) = (𝐺𝑋))
3630, 35breqtrd 4639 1 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Ⅎwnfc 2748  {crab 2911  ∪ ciun 4485  ∩ ciin 4486   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  dom cdm 5074  ‘cfv 5847  ℤ≥cuz 11631   ⇝ cli 14149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153 This theorem is referenced by:  fnlimabslt  39315
 Copyright terms: Public domain W3C validator