Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimfvre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimfvre 39333
 Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimfvre.p 𝑚𝜑
fnlimfvre.m 𝑚𝐹
fnlimfvre.n 𝑥𝐹
fnlimfvre.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fnlimfvre.f ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
fnlimfvre.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimfvre.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
fnlimfvre (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimfvre
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimfvre.x . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
2 fnlimfvre.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥𝑍
4 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥(ℤ𝑛)
5 fnlimfvre.n . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐹
6 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑚
75, 6nffv 6160 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐹𝑚)
87nfdm 5332 . . . . . . . . 9 𝑥dom (𝐹𝑚)
94, 8nfiin 4520 . . . . . . . 8 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
103, 9nfiun 4519 . . . . . . 7 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
1110ssrab2f 38812 . . . . . 6 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
122, 11eqsstri 3619 . . . . 5 𝐷 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
1312sseli 3583 . . . 4 (𝑋𝐷𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
14 eliun 4495 . . . 4 (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
1513, 14sylib 208 . . 3 (𝑋𝐷 → ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
161, 15syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
17 nfv 1840 . . 3 𝑛𝜑
18 nfv 1840 . . 3 𝑛( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ
19 fnlimfvre.p . . . . . . 7 𝑚𝜑
20 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑚 𝑛𝑍
21 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑚𝑋
22 nfii1 4522 . . . . . . . 8 𝑚 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
2321, 22nfel 2773 . . . . . . 7 𝑚 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
2419, 20, 23nf3an 1828 . . . . . 6 𝑚(𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
25 uzssz 11658 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
26 fnlimfvre.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
2726eleq2i 2690 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
2827biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
2925, 28sseldi 3585 . . . . . . 7 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
30293ad2ant2 1081 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑛 ∈ ℤ)
31 eqid 2621 . . . . . 6 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
32 fvex 6163 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ∈ V
3326, 32eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
3433a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑍 ∈ V)
3526uztrn2 11656 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
3635ssd 38762 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
37363ad2ant2 1081 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
38 fvex 6163 . . . . . . 7 ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V
3938a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
40 fvex 6163 . . . . . . 7 (ℤ𝑛) ∈ V
4140a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (ℤ𝑛) ∈ V)
42 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑛))
4342ssd 38762 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑛))
4438a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
45 eqidd 2622 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
4624, 30, 31, 34, 37, 39, 41, 43, 44, 45climfveqmpt 39330 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
472eleq2i 2690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐷𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
4847biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐷𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
49 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑋
507, 49nffv 6160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑋)
513, 50nfmpt 4711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))
52 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥dom ⇝
5351, 52nfel 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝
54 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
5554mpteq2dv 4710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
5655eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
5749, 10, 53, 56elrabf 3347 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↔ (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
5857biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
5958simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
6048, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐷 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
62 nfmpt1 4712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
63 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚dom ⇝
6462, 63nfel 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
65 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 𝑗𝑍
6665nfci 2751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑍
6766, 22nfiun 4519 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
6864, 67nfrab 3115 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
692, 68nfcxfr 2759 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚𝐷
7021, 69nfel 2773 . . . . . . . . . . . 12 𝑚 𝑋𝐷
7170, 20nfan 1825 . . . . . . . . . . 11 𝑚(𝑋𝐷𝑛𝑍)
7229adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
7333a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → 𝑍 ∈ V)
7436adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
7538a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐷𝑛𝑍) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
7640a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ∈ V)
77 ssid 3608 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑛)
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑛))
7938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐷𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
80 eqidd 2622 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐷𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
8171, 72, 31, 73, 74, 75, 76, 78, 79, 80climeldmeqmpt 39327 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
8261, 81mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
83 climdm 14226 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
8482, 83sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
851, 84sylan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
86853adant3 1079 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
87 simpl1 1062 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
88 simpl2 1063 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛𝑍)
89 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗dom (𝐹𝑚)
90 fnlimfvre.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚𝐹
91 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚𝑗
9290, 91nffv 6160 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚(𝐹𝑗)
9392nfdm 5332 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚dom (𝐹𝑗)
94 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑗))
9594dmeqd 5291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑗 → dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑗))
9689, 93, 95cbviin 4529 . . . . . . . . . . . 12 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗)
9796eleq2i 2690 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ 𝑋 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗))
9897biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → 𝑋 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗))
9998adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗))
100 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑛))
101 eliinid 38806 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗))
10299, 100, 101syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗))
1031023ad2antl3 1223 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗))
104 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑛))
105 fvex 6163 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ V
106105a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑛) → ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ V)
10792, 21nffv 6160 . . . . . . . . . . 11 𝑚((𝐹𝑗)‘𝑋)
10894fveq1d 6155 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
109 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))
11091, 107, 108, 109fvmptf 6262 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑛) ∧ ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ V) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
111104, 106, 110syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑛) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
112111adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
113 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
11435adantll 749 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
11519, 65nfan 1825 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚(𝜑𝑗𝑍)
116 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚
11792, 93, 116nff 6003 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚(𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ
118115, 117nfim 1822 . . . . . . . . . . . 12 𝑚((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)
119 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚𝑍𝑗𝑍))
120119anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑗 → ((𝜑𝑚𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
12194, 95feq12d 5995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ ↔ (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ))
122120, 121imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑗 → (((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)))
123 fnlimfvre.f . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
124118, 122, 123chvar 2261 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)
125113, 114, 124syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)
1261253adantl3 1217 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)
127 simpl3 1064 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗))
128126, 127ffvelrnd 6321 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℝ)
129112, 128eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) ∈ ℝ)
13087, 88, 103, 42, 129syl31anc 1326 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) ∈ ℝ)
13131, 30, 86, 130climrecl 14255 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
13246, 131eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
1331323exp 1261 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)))
13417, 18, 133rexlimd 3020 . 2 (𝜑 → (∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ))
13516, 134mpd 15 1 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480  Ⅎwnf 1705   ∈ wcel 1987  Ⅎwnfc 2748  ∃wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3189   ⊆ wss 3559  ∪ ciun 4490  ∩ ciin 4491   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  dom cdm 5079  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  ℝcr 9886  ℤcz 11328  ℤ≥cuz 11638   ⇝ cli 14156 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-rlim 14161 This theorem is referenced by:  fnlimfvre2  39336  fnlimf  39337  smflimlem4  40310  smflim  40313
 Copyright terms: Public domain W3C validator