Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpt2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnmpt2i 7284
 Description: Functionality and domain of a class given by the "maps to" notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fmpt2.1 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
fnmpt2i.2 𝐶 ∈ V
Assertion
Ref Expression
fnmpt2i 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpt2i
StepHypRef Expression
1 fnmpt2i.2 . . 3 𝐶 ∈ V
21rgen2w 2954 . 2 𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 ∈ V
3 fmpt2.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
43fnmpt2 7283 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
52, 4ax-mp 5 1 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   × cxp 5141   Fn wfn 5921   ↦ cmpt2 6692 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211 This theorem is referenced by:  dmmpt2  7285  fnoa  7633  fnom  7634  fnoe  7635  fnmap  7906  fnpm  7907  cdafn  9029  addpqnq  9798  mulpqnq  9801  elq  11828  cnref1o  11865  ccatfn  13390  qnnen  14986  restfn  16132  prdsdsfn  16172  imasdsfn  16221  imasvscafn  16244  homffn  16400  comfffn  16411  comffn  16412  isoval  16472  cofucl  16595  fnfuc  16652  natffn  16656  catcisolem  16803  estrchomfn  16822  funcestrcsetclem4  16830  funcsetcestrclem4  16845  fnxpc  16863  1stfcl  16884  2ndfcl  16885  prfcl  16890  evlfcl  16909  curf1cl  16915  curfcl  16919  hofcl  16946  yonedalem3  16967  yonedainv  16968  plusffn  17297  mulgfval  17589  mulgfn  17591  gimfn  17750  symgplusg  17855  sylow2blem2  18082  scaffn  18932  lmimfn  19074  mplsubrglem  19487  ipffn  20044  tx1stc  21501  tx2ndc  21502  hmeofn  21608  symgtgp  21952  qustgplem  21971  nmoffn  22562  rrxmfval  23235  mbfimaopnlem  23467  i1fadd  23507  i1fmul  23508  smatrcl  29990  txomap  30029  qtophaus  30031  pstmxmet  30068  dya2icoseg  30467  dya2iocrfn  30469  fncvm  31365  cntotbnd  33725  rnghmfn  42215  rhmfn  42243  rnghmsscmap2  42298  rnghmsscmap  42299  rngchomffvalALTV  42320  rngchomrnghmresALTV  42321  rhmsscmap2  42344  rhmsscmap  42345  funcringcsetcALTV2lem4  42364  funcringcsetclem4ALTV  42387  srhmsubc  42401  fldc  42408  fldhmsubc  42409  rhmsubclem1  42411  srhmsubcALTV  42419  fldcALTV  42426  fldhmsubcALTV  42427  rhmsubcALTVlem1  42429
 Copyright terms: Public domain W3C validator