MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpt2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnmpt2i 7106
Description: Functionality and domain of a class given by the "maps to" notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fmpt2.1 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
fnmpt2i.2 𝐶 ∈ V
Assertion
Ref Expression
fnmpt2i 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpt2i
StepHypRef Expression
1 fnmpt2i.2 . . 3 𝐶 ∈ V
21rgen2w 2908 . 2 𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 ∈ V
3 fmpt2.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
43fnmpt2 7105 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
52, 4ax-mp 5 1 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172   × cxp 5026   Fn wfn 5785  cmpt2 6529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-fv 5798  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038
This theorem is referenced by:  dmmpt2  7107  fnoa  7453  fnom  7454  fnoe  7455  fnmap  7729  fnpm  7730  cdafn  8852  addpqnq  9617  mulpqnq  9620  elq  11625  cnref1o  11662  ccatfn  13159  qnnen  14730  restfn  15857  prdsdsfn  15897  imasdsfn  15946  imasvscafn  15969  homffn  16125  comfffn  16136  comffn  16137  isoval  16197  cofucl  16320  fnfuc  16377  natffn  16381  catcisolem  16528  estrchomfn  16547  funcestrcsetclem4  16555  funcsetcestrclem4  16570  fnxpc  16588  1stfcl  16609  2ndfcl  16610  prfcl  16615  evlfcl  16634  curf1cl  16640  curfcl  16644  hofcl  16671  yonedalem3  16692  yonedainv  16693  plusffn  17022  mulgfval  17314  mulgfn  17316  gimfn  17475  symgplusg  17581  sylow2blem2  17808  scaffn  18656  lmimfn  18796  mplsubrglem  19209  ipffn  19763  tx1stc  21211  tx2ndc  21212  hmeofn  21318  symgtgp  21663  qustgplem  21682  nmoffn  22273  rrxmfval  22942  mbfimaopnlem  23173  i1fadd  23213  i1fmul  23214  smatrcl  29024  txomap  29063  qtophaus  29065  pstmxmet  29102  dya2icoseg  29500  dya2iocrfn  29502  fncvm  30327  cntotbnd  32589  rnghmfn  41702  rhmfn  41730  rnghmsscmap2  41787  rnghmsscmap  41788  rngchomffvalALTV  41809  rngchomrnghmresALTV  41810  rhmsscmap2  41833  rhmsscmap  41834  funcringcsetcALTV2lem4  41853  funcringcsetclem4ALTV  41876  srhmsubc  41890  fldc  41897  fldhmsubc  41898  rhmsubclem1  41900  srhmsubcALTV  41909  fldcALTV  41916  fldhmsubcALTV  41917  rhmsubcALTVlem1  41919
  Copyright terms: Public domain W3C validator